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liMKODUCTION riKOlÉTIllQUE

OlKLOl ES TIimiUES PHYSIQUES.

1)1 Ml'MK VUTKLIH.

i.iHiiMiiii: c. \i Tiiirn-\ u.i. mis .

Leçons sur la théorie des fonctions i /.'/rmen/s de la llu-orie des

rrismi/i/es it ii/>p/ir<itinns ) .'} fi'. .')0

Leçons sur les fonctions entières > fr. i"

Leçons sur les séries divergentes 'i fr. io

Leçons sur les séries à termes positifs, /('ty/Tre^* /w/- /i d'AdlunKir. .1 fr. 5o Leçons sur les fonctions méroniorphes. rédigées par /.. Zarelli . . . i fi-. .'io Leçons sur les fonctions de variables réelles et les séries de polynômes, rédigées par M. Fréchel, jivec lies Notes par Pall Pain-

i.KVK l'i HkM!I LKnKsitiK 'i fr. 5o

Leçons sur la théorie de la croissance, rédigées par A. Denjoy . . . . '\ fr oo Leçons sur les fonctions monogènes uniformes d'une variable complexe. ( Sous presse.

U/i/{ A //{//: lIliliMAW ET FILS : Éléments de la théorie des probabilités, 2' édition ; 1910 ij fr.

LinRAIlilE FKUA Al.( A\ :

L'Aviation (en rollaboration okcc V \v\. Painlkvk el C^h. Mauhain),

'i' cfliiMiii rt'vtic. 3 fr. 5o.

Le Hasard 3 fr. 5o.

LUili \iniE VUlBEfiT :

Introduction à la théorie des nombres et à l'Algèbre supérieure

en collaboration a\^ec .1 ilks Diiacii ; "' fr-

Emile BOREL,

PROFESSEL'H A LA KACII.TK DES SCIICSCI S DE l'AIllS.

nTIIOlJLCTlON CtÉOMÉTUIUUE

QLEI.QUES THÉORIES I>HYSIQUES.

PARIS, GAUTIIIKK-VILLAIÎS, IMPHIMKL'K-LIBHAIRE

I»L BLUKAl OES I.ON G I T U I) K S , DE l.'ÉCOr.E l'O I, Y T EC H M Q U E , Quai des Grantls-Augustins, 55.

1911

/

.-fy^

DATE.Nûy 1 d j99t

MOI

Toas drails «le traduction, dr reprodaclion et d'adaptation rcserré* pour tous pays.

PI! i<: F A ci:.

La Science matli(''iii;ili(|u<' tout entière doit son ori^nne et la plupart de ses proji^ivs à l'observation et à l'expérience; cette oii^nne ne doit pas être méconnue; séparer par un fossé les Matiiéinatiques et la réalité est une grave erreur pédago- gique, dont il semble qu'on soit insuffisamment revenu dans notre enseignement secondaire, malgré les elforls des inspi- rateurs des j)rogrammcs de 1902. 11 ne faut pas cependant oublier que le but propre de la discipline matbématique est d'abstraire les éb-ments communs aux réalités diverses, de manière à créer des tbéories dont le champ d'application soit aussi large (|ue possible; ce point de vue ne s'oppose pas au précédent, mais au contraire le complète. Ce serait en effet une grave erreur d'apjjrendre aux enfants la Ijililc de multiplication sans leur en faire faire aussitôt des applica- tions concrètes; mais ce serait une erreur tout aussi grave de ne pas leur apprendre que > fois 4 fo»t i-, sous le pré- texte que c'est là une formule purement abstraite, vide de toute l'éalité. l'^ri fait, l'enfant «pii sait que > fois \ font 12 et qui sait utiliser ce résultat dans des problèmes simples, est bien plus instruit que celui <{ui aurait remarqué que 3 arbres chargés chacun de \ fruits portent en tout 12 fiuits, mais qui ne saurait pas transposer ce fait en un autre domaine.

^I l'HKKACK.

(^elle iiu'lliotlc |)i()|)i(> (les Matli(''iH;iti(|iios, (jui consiste à «'piiier les formules, à les déhnrrasscr de leur contenu con- cret particulier, alin de les lendre applicables à d'autres (piestions concrètes, ne s'est monirée nulle part plus féconde cpi'en lM)vsi(pie. Si l'on avail le loisirde retracer Tliistoire des Mathéniati(]ues et de la l*li\si(juc depuis un siècle et demi, on aj)ei"('evrait leur constante léaction nintuclie : nue théorie malliémati(]ue, dont Torij^ine est piiysique, est développée d'une manière purement abstraite par les mathématiciens et ces développements sont à leur tour utilisés par les phy- siciens.

Les progrès exceptionnellement rapides des théories phy- siques depuis vingt ans, n'ont guère eu le temps de réagir sur les Mathématiques pures. On est allé au plus pressé, c'est-à-dire qu'on s'est limité aux développements mathéma- tiques dont l'utilité physique était immédiate. Pour un phy- sicien expérimental, un travail théorique n'a d'intérêt que s'il fournit l'idée d'une expérience. Le point de vue du mathématicien est nécessairement difTérent; il est tout aussi légitime. Épurer les concepts mathématiques qui sont suirgérés par les théories physiques nouvelles, les vider de leur contenu physicpie pour les étudier en eux-mêmes, voilà la lâche propre du mathématicien. Il travaille ainsi à fournir au physicien des instru monts de travail adéquats à ses besoins futurs, instruments qui souvent ont duré plus longtemps que les théories physiques dont ils étaient issus. Les recher- ches mathématiques sur l'équation de Laplace restent utiles au physicien qui a renoncé à l'électrostatique de Coulomb. La théorie mathématique des phénomènes périodiques sub- siste, même si les explications mécaniques des phénomènes lumineux sont abandonnées.

Ce petit Livre est une très modeste contribution à cette

tiU'lic (lui s'impose ;in\ iiiiillu'iiialiciriis ; je sciais |il<'iii('iin'iil satisfait, s'il [toiivail inciter (luelfjuos jeunes gens à s'iiilé- resser à la Pliysi(jiie mathématiciiie. (jiii ne doit pas ôlrc con- fondue avec la IMiysi(|uc tliéoiicjne, et à s'intéresser aussi aux ({uestions de Malliéniati<|ues pures qui se latlaclicul à la Physique nialliénialicjue.

La prcuiicre Paitie de TiJuvrage, lédi^ée j)ar M. I )(lllicil, élève de TÉcole Normale supérieure, d'apiès (juchpu-s leçons (|U(> j'ai faites à la Sorhonue en décembre 191 2 et janvier iQi'i, est lexposé très élémentaire des théories de «j^éométrie à /| dimensions et à // dimensions {n très grand) (pji se rat- tachent à la théorie de la relativité et à la mécanique statis- tique. Accessibles à un bon élève de mathématiques spé- ciales, ces théories géométriques méritent d'être étudiées en elles-mêmes et pourraient se développer beaucoup, indé- pendamment de leur interprétation physique. J'adresse tous mes remerciments à M. Deltheil pour le soin qu'il a apporté à sa rédaction.

La seconde Partie consiste en sept Notes, dont la plupart ont déjà été publiées dans divers Recueils et qui sont toutes inspirées par les idées que j'ai essayé de résumer dans cette Préface. Ces idées même, avec quelques autres qui s'y rat- tachent, sont développées dans la dernière des Notes : Les Théories moléciilaùes et les Mathématiques^ reproduction d'une conférence (') faite à l'inauguration de Vliisliliil /iire à Houston (Texas) en octobre 191 2.

Saint-Paiil-(|ps-l"onls ( Avovion ). le lo orlobre njiS.

(') Le icxle fiançais de ceUe cuiiférence a élé piildié dans la He^'uc gt-neiale des Sciences du .io novennbre 1912 et une Iraduclion anglaise, laile par les soins de la Siintltsonian Jiistiliition de \\ a>liin^ton. a paru dans le /ii'/iorl de n-nv Inslituliun pour nji '.

1 N T W 0 1) U C T ION (i K ( ) M K T II I (J U E

QUKLQUKS THK()Hlh:s PIIVSIOI KS.

CIIAl^lTKE I.

i.Ks nr.PFACKMr.NTs 1)1-: \a (jkumétrie oijdinaiiu-:.

[^;i Gi'oinélrie ordinaire à deux diinnislons consiste essenliellc- nienl en rélude du i^roupe des déplaccmenls des figures planes. Ces (léplaeements sont de deux sortes : les uns peuvent ètie réalisés par un glissement continu de la figure dans son plan ; les autrt's, au contraire, nécessitent un retournement de la figure déplacée; et tout déplaceuïcnt de la deuxième catégorie peut, dune inlinité de manières, èire obtenu en elFectuant une sjmélrie par rapport à nue droite snivii> diin déjdacement de la première catégorie.

Nous n'étudierons ici (pie ces derniers. Deux d'entre eux jouent, en Géométrie, un rôle fondamenlal : ce sont la translation et la rotation .

Trcdishition. — Ltant donné un plan ra|)porté à deux axes de coordonnées à lotit point \l de coordonnées x,j', la translation (T) définie par les nombres

a, b

lait correspondre le point M de coortloiinées

x' := a -\- T,

y = b-+- y.

l/opéralion (T) laisse immobiles, cpiels (pie soient a et b, tous B I

a (Il VlMTilK I.

Ir>i |)i>lnl>i .1 rinliiii du |il;»n, cl tes poinls siuil les mmiIs (|u illc liilsse iinmi)l>ilt's.

l>ou\ Ir.uisl.ilitms su. cc'^>iv(>s. dt-liiiirs p.ir les noiultros </, h \ a\ h' éqiiiv .ilt'iil .1 l;i lran>l;itii)H umi|iif. di liiiif |);ii' Ics iKUuhrt'S rt -+- a , b -r- h \ en il aiilirs h'nm-s, dans \c j;i«»ii|>f des dcplacoinoiils de la prtMuii're ratrgorif, les Iraushuions lonnciil nu stuis-groupe.

Rolation. — Une rolalion laisse invariable un seul point à dislance linie, le centre de rolalii)ii. Prenons deux axes de coor- doniu'-es roclani^uiaires issus de ce point : si -^ est ran«;le de la rolation, à lout point M de coordonnées .*', )' elle fail correspondre le poinl M de coordonnées

( :r'=.rcos(p — jsino, [ y =: .r SMltp -+- y coscp.

On dt'-niontre, et nous n'avons pas à revenir ici sur ce poinl, que tout déplacement plan se ramène à une rotation ou. excep- tionnellement, à \\\\Q translation.

Droites isotropes. — (dicrchons s il existe une droite issue du centre O de la rotation délinie par lis formules (i) et (|uc celle opération laisse invariable.

On a, entre le coefdcieul aiij;ulaire /n dune droite OA quel- conque, el le coerficienl angulaire m' de sa transformée, la rela- tion

, tane;ci -+- m

m = '■ — ■

I — m la II go

(pu r<'-suli(' imini'diatemenl des lo.nnules (i). Si donc nous voulons que m' = m, il laiit rpie

lango(i -f- m-) = o

et, en sup|>osanl tpie l'angle de rotation n <;>! pas multiple de —, nous vovons «pi'il reste

m--f- 1 = o.

Toute rolation plane autour du point O laisse donc invariables deux droites imaginaires issues de ce point. Os droites sont les mêmes quel que soit l'angle a di- la rolation considérée; elles sont

LES DKI'LACEMK.NTS DM L\ i.KOMKmiK OHOIWIRK. 3

tppt'K't's le'- «Iroiles i^olropt's du point O ; t-l l'on iipprllc puinis cvfliipi«?3 l»*>i ptiiiit- .» l'mlim I ei .1 cniuiniins .tii\ ilroitfs isoliopos

lie llttlS It>S 1)1 II II I -. >|l| lll.lll .

l ni r>' Jor nir iirs rii iitii in'i S >t iinr t ithifuin . — I^.j i.i •ii>'iil«|-,i-

liorï iJe?» droites i-ioiiopes OI, OJ, ileipmiiou-.

X — iy = o. jr -(- I jr = o

nous coniltiiL .1 truu.'iionuer les r'cpi.ilions 1^1) de in.uutfe a intro- duire les expressions x H- iV. -r — iy. On peut iM-rire. en eUet,

T -t- iK = ( rose -♦- / sin î I ( ./• -r- ly 1, t' — / /' = ( cos« — I âin o ) ( t — i y 1

.;, en inlroduiianl les coetlicienls .ini;iii ti>-.- '>> ,>,' n,.i|, 'V..11- I,i relation

/>r — / m — /

— : r -= f?-'? ■

«]ui est. en s<)ninie. de la forme

F I /n 1 Il m I

= «f»'f

et d où I on peut df'tiuire «le nimilireuses ct>nsoquenri*s ,'ii «e ijui concerne l;i compositit)n des rolaliuns de centre Ci.

Gronpf» <{fs rotations île même centre. — Si à la (Iroite OM', de coellicient angulaire m' , i|Ui résulte de la ilroite 0\[ p.ir une rotation d'angle 3, on t'ait subir une nouvelle rotation d angle 0, .;.,ii ,-...t'ti.M,.ni i.._;Mlaire devieniira ni' tel «pie

F( «I et il en rr-^ulle ipie

F I /n ' 1 „

r ( /»i I

ei, par ci)nséipieut. deu\ rotations successives d angles 3 et 6 et de centre O équivalent a une rotation iinnpie de même centre, et

d un anuli' v^^.A ,1 - — 1. ('"est là un tait «pic, ^éoméimpiement, on

CIIAIMIHI I.

pciil ronsi(l«'Ter commo i'n iiloiil. in;ii> t|ii il n'i'lail |i;is .sii|)(illii «le rendre iuis^i inliiili( >oiis tonne iinalvli(|uc.

Soil le j;rt)U|)«^ {(\) ronslilnc par les /misstt/fccs succossii'CS il'nno nn'nu- rolalion H

1, n. n- i{'",

!»♦ svinholo I rrpri'scnlant l'opération idcnllcpie, el les svinholcs 1^, W- H'" représenlanl des rolalions ilan^les 'i. :>.'S/ //i'^.

Si C5 «'Si c<)tnni('nsnral»lc a\C(' •'.— , il arnvcia, pour des valeurs convenables de m, <|ne la rotation W'" sera i;éonn''tri<|uenH'nt équi- valente à Topéralion tinilé : cela résulte des propriétés de pério- diiilé de l'exponentielle imaginaire (pii ligure dans la foirnule (•>.) : de cette remarque on peut déduire la llié'orie îles poljgones régu- liers convexes et étoiles.

Si, au contraire, es n'est pas conimensurable avec 2~, la suite

I. R. lu IV"

ne se yVv/;i<'/'<7 jamais. Mais, dans ce cas, on pourra rendre l'opé- ration R"' aussi peu dillérente que l'on voudra d'une rotation quelconque donnée à l'avance : ou dil, dans la llu'orie des groupes, que le groupe (G) n'admet pas de domaine fondamental. Ces remar(jues tirent ici leur utilité principale du lait que nous aurons plus loin l'occasion d'étuflier des groupes analogues de rotations hyperboliques admellant un domaine fondamental.

Dé Irrnii nation des points du plan laissés imafiables par un déplacement donné. — 11 résulte d un théorème fondamental rappelé plus haut (jue le déplacement le plus général du plan est défini, en coordonnées homogènes, par les formules

I j^'^a-coso — y %'\n'^ -T- xxqZ, (3) ' ^'= JT «in'i -+- j^' cosœ -i- 2^yZ.

Cherchons s'il existe un point M coïncidant avec son homo- logue M'. Soient x^y., z les coordonnées d'un tel point; on doit avoir

X y z

I.i:s KKI'I.ACK.MKNTS IHC I.V (JKOMi; riU K (tlUiINMUK. 5

I )/'sli;iioiis par- z \,\ valriir coiiiimiiir Ai-- f.ipiiorls ( j i ; les iiKMJii- niies .r, >', z sont (Iouihis par !<; sv>tciiic liiit-aiir

(cos(|> — p)x — y siiKp -H ■}.x,iZ= o.

(«—?>-= =o (loiil li; (lilcriiiiiiaiil A > cciil

(l — p ) ( p2 — vè p ros œ -4- I ),

de sorte <ni<' l ('(pialKni A = o aclnid |i<)iii- iMciiies p, = i , z-, = e''?, 23=e~"?. Nous voyons aloi-s (pià la racine o, = i corresjxjiul un poinl unique à dislance (inie, si 's n'est pas nul, et tous les points (le la droite de l'inCui si 'z> est nul : ce dei'nier cas est celui où le déplacement considéré se réduit à une Irauslalion.

(^nanl aux racines o^ et Oj, il leur correspond les points

^ = o, a- zh iy — o

qui sont les points cvrlKpies I et .1 du plan.

La géométrie euclidienne plane au point de vue projcctif. — Le déplacement euclidien général délini par les formules (3) est une transformation projective dont deux des points doubles sont les points cycli(|ues I et J. Ce n'est d'ailleurs pas la transformation projective la plus générale satisfaisant à cette condilion : un calcul simple montre, en ellet, que ces transformations sont toutes les similitiules du plan.

Mais le déplacement (3), puistpi il lait |)arlie de celle classe dliomo^raphies. en possède bien toutes les propriétés; par exemple, SI nous prenons deux droites AA|, AA^, auxquelles il fait corres- pondre les di'oiles A'A', et A'A.,, nous pouvons écrire l'égalité des rapports anliarmoniqiies

C j) (A A,. VA., M. AJ ) = (A'A,, A' a:,, AI. A'J).

6 ciixrniti: i.

la toriniilt*

/;j I — I

(|ui s erni ;iiiisi :

( G > V V = -î- . Lo.'( A A,, A A... A r. A J ).

■XI

( .cilc foriuiilc « rK'hrc, (lue à La|,'iirrio, nioiilit' (jii il rsl j)os.sil)lo de (Irliiiir les angles en les rappoiianl à la ligure conslituée par les «lenx points ryc-li(|iies I et J : les dislances, elles aussi, sonl suscep- tibles d'une pareille déiinilion : sans v insister, observons (|uc les «erclrs peuvent cMre définis comme les eonicpies passant par les points I et .1; le centre est le p»Mc de la droite IJ; ces rcinarinics suHisent pour (|ue I ou j)uisse mesurer toutes les ilislances, une lois donnée un segment linéaire pris comme unité de longueur.

En résumé, dans la géométrie euclidienne plane, il v a une droite qui jouit de propriétés très particulières, c'est la droite de l'infini : sur celte droite, deux points imaginaires, les points cvclitjues, jouent un rôle très spécial. Nous éludieions par \n suite une géométrie |»l;iiie. n<tii euclidienne, dans hupielie nous défini- rons les distances et les angles, non plus par rapport aux points cycliques, mais par rap[)ort à deux points réels de la droite de liiifiiii.

i;Tri)i-: anai-VTkji i:

DES OKI'I.VCKMKNTS I)K I, V (iKOMKTIUK KICM lilKNNI-: A TUOIS DIMENSIONS.

Lintiiilion et le laisoiinemeiit géoiiiétrupies peuvent suffire pour I élude des géoinélries euclidiennes à deux et à trois dimen- sions, qui représenlenl les faits du monde physique où nous vivons. Mais, lorsqu'on se propose l'étude d'une géométrie à un nombre de dimensions dépassant trois, si remploi systématique du langage gé-ométrique peut rendre d'appréciables services, iJ est néanmoins indispensable de donner aux raisonnements une base purement analvtique.

En yue de faciliter l'inlrodiiction des géométries mélriqnes générales dont nous aurons à nous occuper j)ar la suite, nous allons appliquer celle méthode analytique, dont nous pourrions ici aisément nous j)asser, à l'étude des déplacements de la géomé- trie ordinaire de l'espace.

LES DKI'I.ACKMCNTS Ur: I.A (JKOM KTIJIK OItDINAlKK. 7

Ih'Jinitions. Nui-, ;i|>|)il|rK(ii> poini ( ./•) l'cnsemljle des Irois noiiihics

fjiil sont les coordonnées du poinl (.r). I.a dislance d do deux puliils [^x) (j') est définie par la r('lali()n fonilanienlalc

La i;éomélric à Irois dimensions consiste essentiellement en la

d(''l»'iiiiiiialion v\ r('Mii(lc des transformations (T) du type

(7) :r, = .A(X,,X2, X3),

( :r3=/3(X,,Xo, X.v),

telles (pif si {x)^ i^y) et (X), (Y) sont doux couples de points lioniologues, on ail

Nous r)oiis occuj)erons surtout du premier de ces problèmes : la déterminal ion de toutes les fondions y, , y\, ^"3. Nous ferons sur ces fonctions inconnues l'iijpothèse c|u'elles sont continues et |iourvues de dérivées des deux premiers ordres. Dans ces condi- tions, il va nous être facile de trouver leur expression générale.

Expression générale des jonctions f^^j\^j\. — Supposons, en elTet, Y , , Y2, ^-^ très voisins tie X,, Xo, X3, et tels (ju'on ait

. Y,= X,-+-^/X,,

(9) Y2=X,-+-r/X,,

( Y3=X,.,+ (/\3:

il en résultera (pie

y^ = j:'2 -I- d.r.i^ y 3 = rs -I- dx:i

avec

1 r/.r, = ft d\i -+- h d\<,-h r d\3^

(10) • dx-y= a' dXi-Jf /y d\i-T- c' (l\3, \ dxs = rt" rfX I -t- f/ d\,-i- <■" d\3.

8 CIlMMTUi: I.

où les éicmciils <lii .l.l<-i min ml

(M)

(/ h V o' h' (■' a h' r

^'/.

sonl les nciif (l«M-iv(''t"s n;iili('ll('s Iclli's (iiio -\^y cic. ' ' c'Xi

Cola |»<»S('-, les élémcDls du délci iniiianl (A) vérifient des rela-

lii»ns de deux espèees/l'oiil dahoi^l, îles coiidilions d'inléi^rabililé

lelles (|ue

qui sonl au nombre de neuf. Ensuite des relations exprinianl que l'équalion (8) esl vérifiée; et elle s'écrit ici

(i 3 > dx] -4- </j-? ■+- clx'l = f/\{ -t- dX'l -f- dXl-

Ces relations sont les suivantes :

Oij

et

(i5;

«2 + a'2-+- a"2= 1,

^,ï^_6'2 -hZ>"2=: I,

C--+- c ^ -^- c

1,

au -+- a' b' -h a" h" ^= o,

ac -t- a' c -r- a" c" = o,

b,'

b' c'-H b" c" = o.

Nous allons démontrer (juc (ans les éléments du détermi- nant (A) sont des constantes : ou, ce qui revient au même, (|ue leurs dérivées par rapport aux variables X), Xo, X3 sont toutes nulles. Ces dérivées sont au nombre de 27.

Déiivons, par rapport à la variable X,, la première équation (1 4) et les deux premières équations (i5) : tenant compte des condi- tions d intégrabililé (i'^) nous pouvons écrire :

(16)

/ b

On

(/a

, Oa „ Oa

a -rr. r- a -rr-

0\x 0\x

o,

b'

Oa'

àa

b -;t- ^ o,

0\,

<)\^ ' 0\i '

I.RS DliPI.ArEMENTS I»K LA (iKOMKTIU K ()|U)I.\ AI II i:. Q

sjslènip linrairc (jiii n iidimi (jiic la solutluii (jfi 0(i' <iii"

car le déloriiiliiaiil du syslriiu' n'csl dulvv. »|iie le dcleimiiianl (A), qui a son carré égal à i en vcilu des t'qualions (i/j) et (i-^). Un calcul tout pareil nionlterail (|ii('

cl

ob	,)//	oh"
0\,	- 0\,	~ 0\i
de d\.	ôc	ôc"

0' .r.

Il reste encore i8 dérivées telles (lue --- ou ., " .. > les deux

indices de dérivation étant dilîerents : ici le calcul est un peu plus compliqué. Soit, par exemple, à démontrer que

da ôa Oa"

La dérivation des deux premières relations (i4)> respectivement par rapport aux variables Xa et X,, permet d'écrire en tenant compte des équations d'inlégrabilité i i 2)

ôa ôa „ ôa"

a — r; '- a —^. h a — — - = o.

CXo Ô\z t>\o

, ôa , , Oa „ Oa

Ô\j. Ô\.i Ô\-i

équations auxquelles il convient d'adjoindre la suivante :

"" , ôii' „ On"

(itî bis) C —=7 C — rr- : - C — rr- = O,

^ ' (^X, C^X, Ô\i '

dont nous allons démontrer l'exactilude.

Il existe, en eflet, six expressions telles que le premier membre de l'équation (i8 6/.v). Elles sont deux à deux t'gales et de signes contraires, comme on le voit en dérivant les é(|uations (1")) :

niAiMTOi: I.

Mou> j)OU\ons j)os»"r

(19)

Si I on coni|);u(' hi preiniric cxjticssion de /) avec la seconde

expression île /•. N"^ condilioiis d inléiiraltilili'- de la forme -r;- = -ttt-' entra inciil :

p -i- r = o.

On (dilKMit de nn'nie le? relations

p-r-q = o, 7 -i- /■ = o

(|ni montrent (|iie 1 on a bien

j> = o. fj = o, r = o.

L.i démonslialKtn est «'videmmcnl Icrminée, car les é<|na- lions (18) et (18^/5) entraînent bien les relations (17) et l'on démontre de même les équations analogues; les neuf fjuanlités a, b. c. o', h', c' . r/", h", c" sf)nt donc «les constantes et l'inlé- «jratioii des relations (lo, donne les formules de transformation de coordonnées: c'est là la forme la plus générale des fonc- tions/,, /,. J\.

Les neuf cosinus. — Les éléments du Tableau (A) sont quel- quefois appelés les neuf cosinus de la transformation (T). Jls \érifient les six relations indépendantes ( i4) et (i5) d'où résultent des formules lellc-i (jiic

A =

b c // c b' c"

a = 1( b'c" — c' b" )

Nous n étudierons fjue les déplacements pouvant se ramener,

i.KS i>i;i'i.\t:i:Mi;Ms i»i; r.v (.komktiiik (tiu»i\ aiui:. i i

|)iii' Viiriiilinii cniil mue (lt'> ro^iiiii^. ii ropciMlidii idcn liciiK

(io) J j-2^ X,,

( X3= X..,;

c'esl-à-dirr (|ii«' nous oxcliiroiis l('>^ o|)('Tatioiis (Tj à cli-lenni- nanl ( A ) ii«'';;alif. L<'s lraii-.forinalions (|tii reslciil sont repiv'senlées par les loiiinilcs générales, à tlctenninaiil r-gal à + i,

!Xi = a, -t- a X| -t- /^ X-i -H c X3, Ti= ai4- rt'Xi -T- 6'X., -f- r' X3, ■T^3= a3+ rt'X, -f- ù"\2-i c'Xj.

Ln calcul facile montre que ces tiansforniations forment un groupe : ce fait était d'ailleurs à pri-volr-, t'taut donnée la définition des transformations ^ï).

Formules d'Olùvlc Iiodrii;ucs. — Les neuf cosinu^;, vérifiant les six relations distinctes (i4) et(i5) ne dé|)endent donc que de trois paramètres : il exisie des formules les exprimant ellective- ment en fonction de trois paramètres : on utilise, par exemple, en Mécani(pie, les expressions en fonction des angles d'Euler-, qu'il est inutile (le Iranscrire ici.

Les formules suivantes, dues à Olinde Rodrigues, sont plus avantageuses pour les applications géométriques, parce quelles sont rationnelles :

la =1-+-).-— ,a- — V-, 06 =2(Xa-!-v), oc = •;'.(Xv — a),

(12.) / 0«" = 9. (ÀV -H IJl), fjb" — ?.(\J-'I — X), 0C" = 1 À- IJL^H-V-,

avec 0 — I - À- H- ;i.-— •/''.

Les paramètres A, u, vont unes ign if ication géométrique sur laquelle nous ne reviendrons pas; ils s'ex|)rinjent d'ailleurs très facilement en fonction des angle> dlMiier.

Jinariancc des a/ii;/('s. — Les déplacements (29),- obtenus en parlant de l'invariance des distances, assurent l'invariance d'une autre fonction simple relative à trois points INI ( x), V (y), Q^{z).

(Mvnnu. I.

La (lislaïuT l'M r - ^ i] (^.r, — »•, r- .«si nii iii\.tii.iiil . Or. on peut ('V idi'minenl écrirr

>i l'd

7.i:(.r,- J,)( V,- 5,) = 2Q.M QPc.sIMQI»,

on |)f'ul (K-liiiir ainsi lauj;!»' MQP, et il résulte île la lornuile (23) (jue eel angle esl un in\arianl des Iransformations (T). L'inva- lianir lies anijles lésiilte donc nécessaiienicnl de l'invariance des tlislanees.

translations. — Parmi les déplacements représentés par les formules générales ( li i i liaurent les translations

(24.)

j-, = X, — X,,

J-, = 2,-1- \,,

•^3= as— X3.

Lne translation ne laisse invariable aucun point à distance finie : elle laisse, au contraire, invariable chaque |jointdu plan del'inlini. iJeux translations successives équivalent à une Iranslation.

Rotation autour d' un axe. — Le déplacement général (21) ne laisse, en général, in\ariahle aucun point à distance finie. Si, en efl'el, on avait

Xi=\i, 5^4= X2, ar;j =; X3,

les coordonnées X,. \.j, N-:; seraient donin-es parle système linéaire dcjnt le déterminant

(« I )Xt -i- b\i-r- 0X3-+- Xj = O,

(i \\-^ b' — I » X»-!- c Xj-i- -x-i = o, a" X 1 -^ b'\i^ {(" — I I X ; — y ; — o.

— I b c

a' b' — I c'

a" b" c" -— 1

I.F.S lIKIM.ACIlMr.NTS DK I.A (.KO.MKiri I K (HUHWIIII. I J

esl nul, en verlii de rehilions telles (|iie a z^ h' c'' — i- h" . JNdiis obtenons là un n'-sulliit eonlriiirc ;'i celui obleiiu en ^M'oniétri*; plane. Nous verrctns |i|iis loin (|iril y a, en général, un point fixe en géométrie à (juatre dimensions : de sorh- (jiie l'exislenee du point invarial)li' d»-peiid de la paiih- du nombre des dimensi«ms.

Faisons (ral>t>rd une lianslalioii {:>.\) amenant le point O, origine <les coordonnées, en stni lioiiiologue O' dans le déplace- ment (21). Le déplacement (D) restant aura \\\\ point (ixe, l'ori- gine O'. Le système linéaire ( 9.,') ) ;idmcltia la solution zéro. Mais 0 élaiil nul, ce système a<luu'ltia une inriiiiti' de solutions, non nulles, et correspondant à tous les |)oiuls dune droite issue de O'.

S'il V a un point invariable, il Y en a donc une infinité en ligne droite.

Cliercbons maintrnaut s il existe une droite O'A, issue de O , et qui reste invariable par le déjjlacemeiit (IJ) : si o:,, x-^^ X3 sont les coordoniu'-cs (rmi point de celte droite, on aura

X, - X, ~ \,'

Soil 0 la valeur conunnne de ces rapports. Les (juaiililés X) 5X2, X3 sont données par le svslèine linéaire

1 ('a — p; XiH- 6X,-i- eX3= o,

(26) < a'Xi-h(6' — p) Xo-T- c'Xj^ o,

/ rt*Xi-i- 6\-— ^r' — p )X:, = o.

dont le déterminant s écrit

D = I — p3-f- (p2— pj(rt -f- Ô'-H C").

L"é(pialion l)^o admet la racine p = i- Lia droite correspon- dante a donc ses points invariables individuellement : elle est réelle, nous lavons déjà rencontrée plus liant.

La racine 0 = i étant exclue, il reste

p--!- p (<7 -+- i'-t- c" — J) -i- I = O,

('•quatiou (jui n'a pas de racines réelles, ain>i qu'on s'en rend compte en utilisant les expressions de rt, 6', c" au moyen des for- mules (22 ).

l i ClIAPITIli: I.

Soient o'. o" les racines; soieni \,. \.. \, les coelliiieiils direc- leurs (léiliiils de la lacine p = i, et X,, \.,,X3; \'j, \!^. X", ceux <Hi<' l'on dédiiiriiit des raeines o' el o''.

( >ii oltliful ais«''ineiil, par un proct'dt' classique ([iie nous déve- lopperons dans le cas de (pialu' diinensinns, les rcialions

(i-p'ï)(\',î-f-\;2-^X',î) = o,

et

(I- p')(\,x', ^x,\; -+- X3X3) = o.

qui |ii(>u\eiil que la droite OA' est une droite isotrope^ généra- trice ilu cône

\2 -h X| -f- X2 =o,

qui est le cône isotrope relatif au point G : et que celle droite est oillioi;onale à la droite OA.

Comme la droite OA" possède les mêmes piopriétés. on voit lînaicmcnl (pie le plan OA'A", qui est réel, esl orthogonal à la droite OA; et, dans ce plan, les droites OA'. OA" sont les droites isotropes du point O.

Si nous prenons de nouveaux axes de coordonnées rectangu- laires. O.r., coïncidant avec OA, Ox^Oxy étant par suite dans le plan OA', OA", les formides du déplacement considéré se simpli- Hent cl prennent nécessairement la Ibrme

I a*! = X) Costa — Xo sin », (•27) < arî=^ Xi sin 'i -f- Xj cosç,

( X3 = X3.

Au point de vue géométrique, les formules (2-) représentent une rotation aulrjur de la droite OA. Nous voyons que tout dépla- cement (|ui lai^-^e immohilc un |)oinl de l'espace à dislance finie est une rotation autour d'un axe passant par ce point.

Ou peut au>si remaïquer que le déplacement (21) est le résultat de la composition de la translation :

a-, = ai-t- J-'i,

■2"3 = 33 -H t\

el dune rotai ion autour d'un axe issu de lorigine. Tout déplace- ment est donc le résultat de la composition dune translation et

M:S UIIIM.An.Ml.NTS l)K l.\ t.KdMKTHIi: OlllHNAIIti: . I>

<riinc rolalion iiiitoiii- tl un ;ixc, ri cria <J une inliiiih- île ma mères, piiis(|iit,' nous pouvons |)reiulre un poinl (|ueIconi|Mc luninie ori- gine des coordonnées.

Conclusion . — Au poinl de vue géomélrique. «mi peuL dir<i que, dans la i;éoni('liic mélriipie euclidienne à Irois dimensions, il existe un plan piivdi'gK'-, (pu est h.' plan de rialim; el dans ce plan, des points |)arlieuliers jouent un rôle loul spécial; ce sont les points à I infini de toutes les droites isotropes. Le lieu de ces points est une eourlx' ipi mi nomme quelquefois la conique ima- ginaire de liidini. Il est possible, en se plaçant au j)oinL de vue projeclif, de ra|)j)orler à celte conitpie les définitions fondamentales des anj^les et des distances : on peut aussi construire des .qéo- niélries non euclidiennes en la remplaçiuit par une autre clinique, à distance finie ou infinie.

Dans ce dernier cas, <in |)ourr.i ()|)ércr par voie purement ana- lyli(|ue, en remplaçant la forme quadratique fondamentale

<!.( X, _ V,. X, _ V,. X:, - V, ) = ( X, - Y, )2 ^ ( Xj - Y, )' + ( X,- Y3)'-

pai- une autre forme quadratique (pielconque, el en raisonnant comme nous 1 avons fait tlans ce Chapitre.

CIIAIMIUK II.

GKO.MKTHIK EUCLiniKNNi: A (JUATRE DIMENSIONS.

A|ii»> Texposé analvli(]uc du (chapitre précédent, rclallf à la ijéonu'trie euclidienne à trois dimensions, il va être facile d'aborder l'élndo des déplacements d nue ^l'o nié trie i> viiie dimension de plus. (Test la i;éométrie (jualernaire euclidienne (pie nous étudie- rons en premier lieu, alin de ne modifier tout d'abord f|ue le moins possible nos habitudes.

On appellera point M(j7) Teitsendjle des cpiatre nombres

Xi, .r.2, Xs, Xi.

(pii sont les coordonnées de ce point. La distance d de deux points M (x), P(j') est. par définition, donnée par la formule

<^)

d^ = (.r, — j, y^ -H (x, — j'î )î -h ( 3-3 — ys)-^ -^{^Ti— ji)^

Les transformations ponctuelles conservant les distances et satis- faisant à certaines conditions de continuité se ramènent à la forme générale

Xi=a -Hrt X\-^ b x^-^ c Xy-h d x^, X* = a' -r- a' Xf -^t- h' Xî-^ c x^ -i- d' x^^ X3 = a" — a" Xi -H b" x-2 -r- c' Xj -+- d' x^,

X ; = a'" -~ a" X\ ■+- b"'X2 -\- c'" X^ ->r d" Xi

(2)

les quantités a, a', a", a'" et les éléments du déterminant

A =

a	b	c	d
a'	h'	c'	d
a"	b"	c"	d'
a!"	b'"	c"	d"

étant des ron-tanles (juc ikjus supposerons réelles. Les éléments

GEOMKTnil-; KLTI.IDIENNE A QtATRI-: DIMENSIONS. I7

de (A) vérifif'iil dix rflalious dislinrtes, (|iii sont pnr excinplc les suivantes

(3)

el

(i)

i a- = I , 2 ^2 = I , i: c» = I, Srf» = i

Sa6 = o, S ac = o, S ad — <),

il éc = o, Zbd^ o, iL c</ ^ o.

	b'	c	d'
a =	b"	c"	d"
	b'"	c"	d
a b		c"	d
a' b'	^	c'"	d"

Il en rcsiilic que A- = i : nous n'étudierons (jue les déplacements tels que A = -f- i .

\ ces relations fondamentales (3) et (4), il eonvienl d'adjoindre d'autres relations (|ui en sont les conséquences. Il lésulte, par exemj)le, de la théorie élémentaiie des déterminants, qu'on a

et

Sans qu'il soit nécessaire de préciser à l'avance le sens de tous les mots, il sera utile très fréquemment d'employer par la suite le langage géométrique.

Conservation des angles. — Comme en oéométrie ordinaire à trois dimensions, de l'invariance des dislances résulte nécessaire- ment 1 invariance des angles. L'angle V des deux directions M [x) I^(jk) et ^1 (^) Q {^) est, par définition, tel que

MP MQcusV = Kr,— 7,)('x,— ;:,).

Les directions MP, MQ sont orthogonales si

ir-r,— -,)(.r, — ^,) = o.

Droites, plans et hyper plans. — Jùant donnés deux points distincts M (a^), P(j'), la droite MP est, par définition, le lieu des B, a

ï8 CMAIMTRK II.

poinls Q(-) de coordonnées

de nièine, trois points distincts et non en ligne tlroitc M(j:), P (-►•). 0(c) délinisseul un plan, lieu des points K(//) de coor- données

Ui=x,-hl(yi—Xi)-h (i.(j, — a-,);

enfin, l'tani ilonnés quatre points non dans un niénir [)Ian, ils définissent un iivperplan, lieu des points

Il est intéressant de voir comment on pourra constituer, autour d'un point O qu'on prendra pour origine des coordonnées, les systèmes de droites, de plans et d'ijjperplans liés par des condi- tions diverses d'orlhogonalité.

Soit la droite OM(ar) définie |)ar ses coefficients de direction .r,, Xo, X3. x^ : les coordonnées des points P (.>'), y>, J'3, y^), tels que l'angle MOPsoit droit, c'est-à-dire que

^1 r 1 -(- -^1 y-i -H -^3 y 3 -H -î^i y. = o

dépendent linéairement de trois paramètres : ces points constituent Thyperplan passant par O et orthogonal à OM. Inversement, étant donné un hjperplan, défini par le point O, et les points P(j'), Q(r), R(a), il existe une droite OM orthogonale à cet hyper- plan : les coefficients de direction de cette droite peuvent être |)ris égaux aux déterminants du troisième ordre tirés de la matrice :

j'i y-. j3 y'->

Z\ -2 C3 -54 U\ Hz If 3 «i

Si 1 on se donne deux droites OM et OP, les hvperplans per- pendiculaires ont en commun un plan. Ce plan est dit complète- ment perpendiculaire au plan MOP. Et, en effet, toute droite du premier plan est perpendiculaire à toute droite du second. Car les relations

ix/;:, = o.

Sj,z/= o,

2.X,ll£ = o,

^yiUi= o,

(;i:oMi;raii: i;i ci.idicnm-: a qi atiu: r)iMENSioNS.

19

enlraînonl

i: ( ). .7-, -r- IX y, ■ )(-JZ, -{- pUi) = O,

(|iirlM (Hir soient /., a, v, p,

( )ii volt (jurMi se borniiiit niix <ln)il(;s, |)l;ni.s cl liyperplans conlenaiil !<• [xiint () : une tlroilc, CDiiinic un liyperplan, dépend de Irois pardni('lr«'S dislincls; un plan déjx'nd de quatre para- mèlrcs, car il est dtWini |)ar les <''(|ualions Injuiogènes

H.r| -t- VT.i-\- ir3?3-+- /iT^ = o,

u' Ji ■+- v' Xi-{- tv'Xi -+■ /'^i ~ o,

(|n On peut aussi considérer comme lixant la position d une droite dans Fespace ordinaire. Nous serons conduits d'ailleurs par la suite à |)r<'-ciser davantage la détermination effective d'un plan par la connaissance de (piatre paramètres convenablement choisis.

Point i/ii'a/'iable de la Iransforniation (2). — Cherchons s'il existe un point A.[x i^x-^^x^, x-,) qui coïncide avec son transformé A' dans le déplacement (2). Les coordonnées du point M seront données par le syslènie linéaire

(^)

(a — i)ti-^ bx-i-^- cXi-^ dxi, = o, a'xi-{-{b' — i)Xi-^ c' Xi-\- d' Xi, = o, «"0:^1 -+- b" Xi -\-{c" — \)X3 -+- d" Xt, = o, a"'.ri -!- b"'x2 ■+- c"'x3 -\~ ( d" — 1)2-4=0,

dont le déterminant

D =

a — I b c d

a' b' — I c' d'

a" b" c" — I d"

a'" b'" c'" d"'—i

est, en généi-al, différent de zéro ( '). Il existe donc en général un point invariable et un seul. Nous laissons de côté pour l'instant des déplacements spéciaux qui n'auraient pas de point fixe ou en auraient une infinité. Nous bornant au cas général, et transportant les axes au point A, nous obtenons, pour le déplacement (2), des

(') Nous reviendrons sur ce puinl dans un instunl.

70 ciim'ithk ii.

forimiles où los (onm-s foiisl.inls a, a', a", a'" uni disparu, mais où les élémcnls ilu «lôtermiiiaiil (A) n'ont pas cliangô.

Ce sonl les proniiolés de ce déphu (MuohI aiiloiir d un point (ixo que nous allons luaintiMiant «'tudier.

Droites iinitriahlt's par le <iépl<(ccment ai/hnir cf ii n point fixe. — Cherchons s'il existe une droite OA de coeliicienls de direction .r,, x^, 0*3, x^ qui demeure invariable par le déplace- menl(2) que nous avons pu ramener à la loinie

6)

\\ — a \i -h ^ \2-H c Xa-t- rf Xi, X'j = rt' X| -h b' Xj-i- c' X3-H d Xi, X j = a' X, H- b" Xî -+■ c" X3 -+■ d" Xt, X; = a-X,-(- 6"'Xî-h c"'X3-h d"\^.

( )n aura alors

X,

1^

X.

x^

Et, en désignant par p la valeur commune de ces rapports, les uantités X,, Xa, X3, X.i sont données par le système linéaire

{a — p)Xi-h AX2 -f- cXs-i- d\,^= o,

rt'X|-f- {b' — p)X2H- c'Xj-i- d'\i= o,

a'Xi-l- 6"X2-i- (c" — p)X3-h fl?"X4 = o,

a"'X,-h è"'X2-f- c"'X3-+- (rf'"— p)Xi= o,

'7)

dont le déterminant s'écrit

//

b" b"'

c c'

c"—p

d

d'

d"

On doit avoir 0 = 0, ce qui s'écrit, en utilisant des formules déjà signalées relatives au déterminant des seize cosinus

(8>

p*-i- I — (a -t- b' -k- c" -r- d'" ) (p3-+- p) -t- p-y^(ab' — ba' ) = o.

Cette équation en z est une équation réciproque; nous n'avons pas à en faire l'élude algébrique systématique; nous utiliserons seulement dans la suite les remarques suivantes :

GKOMF.TUIK El ri.lKlKNNE A ulAIRK lUMKNSIONS. 9.1

l" Celle r(|ii;ill(»ii, I t''(,i|H(»i|iit' <l<" ilr^n- piiii', ir;iiliiif'l |);is en

•général la racine -h i, ni la racine — i : car elle devrait avoir une

racine double ce qui t-nliaînerail des relations parliculières cnlre

les cosinus ( ' ).

t>." Des iDiniiiIcs

\, -?X,,

\ 2 ^^ p • » î I

X3=?X3>

x; = px,

résulte que si o est racine de ( S ) el si X, , Xo, X,, X., sont les coef- licicnts de direction de la droite OA correspondante, on a

Et, comme o^ est diflV;rent de i, la droite OA vi'-rifie la rela- tion

On dit que c'est une droite isotrope. Et il résulte de là que o est imaginaire, car, si z était réel, le système linéaire (~) ne pourrait donner les coeflicienls de direction d'une droite isotrope.

L'équation (8) a donc ses racines imaginaires. Ces racines sont conjuguées deux à deux puisque les coeflicienls sont réels et deux racines conjuguées sont inverses l'une de l'autre puisque l'équation est réciproque, ce qui montre que les racines ont toutes pour module i (^).

3' Soient 2',o„ et p'',p„ ces quatre racines. Si X',, X.,, X'^, X'^

(') l.i; fait que l'équation (8) n'admet pas la racine i entraîne Itien que le déterminant D considéré à la page 19 est tlifférent de zéro. Comme les 16 quantités a, b, ..., r/'" ne sont pas indépendantes on pourrait se demander si l'équation (8) n'a pas toujours une racine double. Pour se convaincre qu'il n'en est pas ainsi, il suffit de constater que dans un cas particulier, l'équation (8) n'a pas de racine double ; on peut choisir, par exemple, le cas où les équations (6) se réduisent à la forme (9) ci-après.

(') On peut démontrer directement que le module des racines est égal à i; car on a évidemment

|x;i = |?iix.|

et d'autre part les équations (<>) dans lesquelles les coefficients a, h, . . . , d" son\. réels entraînent

aa < iiAPiTRi-: ii.

et X^, Xj, X3, X'j sont les coclTuicnls dôduils clos racines p' el p", on peiH écrire

( I - p'p'){\\ \\ -^ X', x; -^ x'3 x; ^ x; x; ) = o.

(.oninie 1 — 0' c" n'esl pas nul, les directions (X') et (X") sont rectangulaires.

Conclusion . — Dans le déplacement (6) il existe quatre droites isotropes A( . Ao, A3, A4, (pii dcinoiirent invariables. Les plans A, A^ el A, Al sont réels, el complètement perpendiculaires : ces plans glissent sur eux-mêmes dans le mouvement.

Le déplacement (G) se compose donc de deux rotations simples elVectuées dans deux plans complètement perpendiculaires. Si l'on choisit dans le plan A, Ao deux axes rectangulaires OZ,, OZ2, et dans le plan A3A., deux autres axes rectangulaires OZ3, OZ», on pourra prendre pour svslème d'axes le système 0Z,,0Z2, OZ3, OZ4, el les formules (6) seront remplacées par les formules

1 xj) = Z) coso — Z, sincp, 1 ;;»= Zi sino -!- Z, coso,

(9) ! 1 T - .'

Z3 = Zj cosO — Z; sinO,

-; = Z3 sin9 -I- Z4 cos6. L'équation (8) devient en ce cas :

( p- — 1 p COS o -i- l) (p^ — 2 s COSÔ -!- I) = O.

Pour définir cette opération (g), il faut d'abord se donner quatre paramètres, pour avoir le plan A,0A2; le plan A3OA4 est alors com|)lètement déterminé. La donnée des deux angles o et 6 porte à six le nombre des paramètres dont dépendent les déplacements (6) autour d'un point fixe.

C'est une conséquence également du fait que les seize cosinus du déterminanl l'A) vérifient dix relations distinctes.

formules de Cayley. — Nous avons vu f|ue les neuf cosinus qui figurent dans les formules du di'placemcnt le plus général de l'espace à trois dimensions dépendent de trois paramètres, et com- ment on peut les exprimer en fonction des trois paramètres d'Olinde Rodrigues )., u, v.

(lO)

GÉOMÉTiiir: Erri.iniKNNE a (jlatiu; dimensions. u3

C'esl Ca^Iev <|iii le |ii<'iiuer a réscjhi le iM»;inf; problème pour les seize cosinus des cli'placcinenls à (piaini dimensions. Sa d«''mons- Iralion est piiremenl aualylicpie, el hasc'-e sur les propriétés des délerminanls gaiiclies. l'LlIcesl valaMe pour un nombre quelconque de coordonnées, el conticnl par conséquonl la d('iiionslralioii des formules de Rodrij^ues.

\oici, pour Tespace à cjuatrc diiiM'iisioiiN, les formules qu il a obtenues.

I 8a:, = (t-i-/2-^^-2-i-/r-!— a'J— 62_cî;X,

-f- v». ( /O H- a H- h/i — cff)\2

-h-i(ff0^b-^c/— ah ;X,

■4- 2( // 0 -f- c -t- a^ — 6/ j Xi,

ox, = ■'.(— /O — rt ~ fj/i — cff)\i

-+- -ii— cO — h -^fg — ab)\^ -1-2C 60 -H ^' -f- /«/— «cjXt,

oa-3 =: i( — ,^0 — b -^ cf — ail ) X] -h ■).{ cO -r- A -t-/A' — ab)\i

-^(lH-^2-^c'-H-a-'— /2— /i2— 62 X3

-+- 2 ( — a^ — f -\- gh — 6c j X; ,

8xv — ?.( — A 0 — c -+- (^/^ — bf)\y^ -h -iÇ— bd — g-h /// — ac ) X 2 -l-2( afi -\- f-h gh — bc )\3 + (n-/i2 + a2-f-62— /2— -2— c2)Xi.

Les six paramètres sont a, />, c,y, ^, A et Ion a posé

0 = af -^ bg -^ c/l, 0 = I-T-a2-t-62-hc2-r-/2-H^2-+- 62.

Nous allons utiliser la forme canonique obtenue déjà (9), pour arriver, par une voie plus géométrique que celle suivie [)arCaylev, à des formules é(|uivalentes aux formules (10).

Détermination des seize cosinus. — A la vérité nous introdui- rons, pour la symétrie, deux paramètres supplémentaires, les huit paramètres étant liés par deux relations. Car le plan AiOAo, dont la connaissance suffit pour avoir les axes canoniques OZ,, Z^, Z3, Z4 est déterminé com|)l(tcment par la connaissance de sa droite d'in-

•>.4 rHAPITRK II.

terseclion avec riivperplan à l'iiilini. l'^l l on |>eiil déliiiir ictle droite par six coordonnées pliickrrieuncs ("quivalanl à qualre para- mètres.

Soient M(jr,, Tj, .rj, jt,) et ^(.ri. r-. .'''^ J'i) ^^iix points du plnn A.OA, tels que OM = OP= i. .1 (i.io l'OM = ^- On aura

2.Xi = 1, Sr,7, = o,

^it)us poserons

V = .r,72— .ri^2,

les six iiaramèlres a, 3, v, )., a, v vérifiant les deux relations

I aX -t- [3|Ji -4- yv = o,

) a2 -t- 3-^ -4- f- -+- X2 _H ;x2 -(- v2 = I .

(îU

On voit qu'au fond nous utilisons quatre paramètres eflectifs ; nous leur adjoindrons les deux angles de rotation o et 6.

Soient Q et R deux points de coordonnées (u^, U2^ u-.ii U/,) et

('^? ''2> ^3j <'0 lels (pio OQ := OR = I , QOR = ;^? 6t situés dans le plan complètement perpendiculaire au plan MOQ. On a les relations

2.UiXi = o,

X p, j-, = o,

>,«,(•, = o, Sm{ = I,

qui montrent que les seize éléments du Tableau

(T)

.r, Xi X3 X;

y\ yï r3 y-*

ti\ iii II 3

Ui

sont seize cosinus, et par conséquent, on a

a"3 X;

ys y:

r.KOMKTIIIi: ET'CI.IDII.NM-: A (^lATUK IllMKNSIONS. 25

el les rehilions aiiiiloj^in's. Si lOii (l<''sii;ii«' donc par a', |i', y'i '•'; jji.', v' les coiiiliinaisuns analu^iies à a, [j, y, )., a, v <.'l f<jrmées avec les coordorjiiécs (//), (^i-), on a par cons<î(jiienl

t = /. ,	/. = a ,
p = 1-'.	.-=P',
Y = v',	7 = y'.

Soit à (•alctijpr l»'s coetlicionU des lorinules (6), où les {x) sont les roordonnées rapporlres aux axes [)riiniti(s. Par rapport atix axes OM, OP, 0(^, OR, (jue nous suj)|)Osons <Hre dans les condi- tions des formules (9), on a

Z'i =: Z, coso — Z2 sin'^,

, Z'., = Zi sinci -f- Z» cos», (9) ; - ' . -2 .

Z'j = Z3 cosO — Zj sinO,

Z'j = Z3 sinO -f- Z4 cosO.

lùilre les coordonnées anciennes, d'une pari, el les coordonnées nouvelles, on a les relations suivantes :

Zi = JTiXi-ha-jXo-i- J-a-X,-!- ^-4X4,

, , Z,=J',X,-f-J'2X2— rsXs-l-^iXl,

( • 2 ) ',

Z.-,=: a,X,-i- «2X2-^ MsXj-i- «4X4,

Zv = t-, X,-f- 1^2X2 -h (^3 X3-I- ^4 X4,

où il est aisé de faire l'inversion .

On peut écrire les formules (9) sous une autre forme

/ Z', = ( j-] X, -+- ^-2X2-+- 373X3-1- .r4X4) costp i — 0'iXi-i-jK2X2-i-jr.iX3-H-^'4X4) sincp,

(i3) ' Z'2 = SaT] Xi sin© -i- X_^, Xj coscp,

Z'j = Sj/i X) cosO — St'i Xj sin6,

Z; = Si'i Xi sinO -i- ilt", Xi cosO.

Et, par conséquent, on a

I X', = .r, z; -r-_xi Zj -H f^i z;, -^ f , z'.

I = jri(^Sa-i \| cos'i — 'Lyx Xj sin (p)-+-j-i(S.r| Xi sino-l- S^iX, cosç) 1 -1-«i(5:M|X,cosO — Si'iX,sinf))4-i'|(lM,XisinO-t-SriX,r.os6),

j Xj = .^JZ,-f-J'2Z'î-i-H2Z3-^t^2Z4 = Sa:2(S:^■| X, coscp — 2j,X| sincp), / X'j =a-3Z,-i-j'jZ',-i-a3Z3-f-(',Z^ = 2:j"3(Sar,Xi cos«p — S^, Xisinç), 1X4 = a-4Z',-i-/4Z'j-(- WjZ'j-t-PvZ'. = Sjr4(2a:jXi cosop — 2_^, Xisino).

26 CIUPITRK II.

Les formules (i4) sont les forimiK-s clit'iclu'os. Les coefiîcienls de X,, Xa, X3, \^ senihlenl conlenir les seize éléments du Ta- bleau (T); en réalité, leurs expressions se simplifient assez pour ne conlenir finalement que a. [î, y, A, }Jl, v.

Faisons le calcul ilc a et de 0 par exemple. On a

a={x]-^y]) coscp 4- («J -t- i'i ) cos6,

b = (TiX^-^riVi) cos(p -+- (x^yi — XiYi) sin<p -4- ( f/j «2-+- (•] po ) cosO -t- (l'i //.j — «|i"2) sinO.

Mais on peut écrire, puisque Sar^= ^.K« = ' ^'' --^1.^1 = o •

(i5)

De même

«f -T- i;-J = |jl'-' -+- v'2 + a'2 = X''' -+- P' + 72 ; d'où

a = ( a' -t- p.- -t- v2 ) cos (d -h {^^^ '[^ -\- "k-) cos 6,

D'une manière analof,'ue :

= 3^1X2(75 H- j2 j -4- jKi72(a"§ -h a?^ )

— (•^ir2-+-ri^2)(^3jK3-t-a^4jK;) = ajî — ).[X,

d'où

6 = ( a^ — Xa) (coscp — cosO) — v sin o -h '[ sin 0.

En transformant ainsi tous les coefficients, on obtient le Tableau suivant :

- aî-f- vï)cosS' -4- (^2_,_ .^2— X^j cosO (a^ — X[x)(cosçp — cosO)-f- v sincp -1- ysinO -Xfi)(cos(p — cos 6) — (vsin(p-r- Y sin 6) ( p^ -(- X^ -i- v^ ) cos'ii-f- (ii^-\- 0L--h 7-) cosO

- Xv )(cos<j> — cos6)-(- u sin<f)-f- 3 sinO (^7 — |jiv;(cos'^ — cos 8) — X sin 9 — a sin 6

- 3/ ) ('cos 9 — cosO) — a sincp — X sinO (av — X7)(co£cp — cosO) — ^ sino — [JisinG

(cTf — Xv)(coso — cosO) — [Jisino — ^ sinO (-(ix — [3vj(cos<p — cosO;-i- asincp-i- Xsir

(^•( — [jiv)(cosçi — cosO)-f- X sin 9 -t- a sin 0 (av — X7)(cos«p — cosO)-|- ^ sintp -)- [Jisir

(7* — X^-H [j.î;cost5 -i- ( yî-t- a2-f- ^^)cof,() (fiX — a|ji;(cos9 — cosO; + 7 sintp-h v sir

t 3X — aujCcosrp — cos 6) — 7 sin 9 — v sinO (a^-f- JÏS-i- 72 jcosfp -(- (X^-i- ji,' -+- v2)coi

(iÉOMKTRIK EUCLiniENNK A Qt ATIŒ OIMENSIONS. 27

(lui (luiiiic les sci/e cosinus ex|)riiM<''s :iii moyeu tl'élémenls dont l:i signification géométrique est simple et bien connue. Nous ne pousserons pas plus loin l'étude des déplacements à quatre dimen- sions. Au sujet de la composition de ces déplacements, on peut se reporter à un M('inoire de M. Cole [A nicricaii Journal of Mathe- niatics, t. \II ).

CIIAPITHK m.

GÉOMETIUI: IIVI'KKBOLKJUI- SIM-CIM.K A DKUX DIMENSIONS.

[^es lranst(inn;ilioas (jiie nous allons éliulier sont les déplare- monts d'une géoniélrie paiiicHilière, laquelle n'est pas, à propre- inoul parler, une géométrie non euclidienne, puisqu'elle admet une théorie des parallèles conforme au postulatum. Elle présen- tera cependant avec la géométrie ordinaire des dillércnces essen- tielles, relatives non plus aux translations, mais aux rotations.

Nous emploierons l'appareil analytique de Descartes : une expo- sition purement abstraite sérail possible, mais moins aisée; et d'ailleurs ce sont les formules analytiques que nous établirons qui nous seront utiles par la suite, |)lutôt que les propriétés géomé- triques fondamentales.

C'est aux points à l'infini /, y des axes rectangulaires Ox, Oy que nous ferons jouer le rôle des points cycliques l el J. Les déplace- ments seront alors des transformations projectives laissant ces j)oinls invariables, les rotations possédant en outre la propriété de faire glisser sur elles-mêmes les coniques (F) ayant pour centre le centre de rolalion et passant par / et y.

Translalions. — Lue tran>lalion, au sens de la géométrie ordi- naire, laisse invariable chaque point à l'infini. En vertu de nos définitions, les translations font donc partie du groupe que nous étudions. En ce qui les concerne, et par conséquent en ce qui concerne la théorie des parallèles, il n'y a aucune différence entre la géométrie hyperbolique actuelle et la géométrie ordinaire.

Rotations. — Une rotation autour du point O est une transfor- mation projective représentée par des équations de la forme

CEOMETRIK MVPKRBOljylJE SPECIALE A DEUX DIMENSIONS. Qg

Les (Iroiles issues dr () <•! laissées inviiii:il)les ont leiiis cucfli- eienls a!ij;iilaires (loiiiio ji.ir ré(|(iiiti<)ii

a' -f- S' m

( j. ) m = )■

a -H ji /«

( '.('S (Iniilc^ ('tiinl , |)iir li \ [lollirse, les ;i\cs de cooidoiiiH-es, nous vo\(tns »|u t»ii tidil ;i\ (iir

l a' = o,

Mais lie [)liis, les livperijoles (II) xy = k doivent f^lisscr sur elles-mêmes dans la rolalion; et celte condition nouvelle donne

a3'= f;

de sorte (|ue les rotations lijpeiboiiques de centre O sont repré- sentées par les foiiuules

\ Y

(4) .

Nous n étudierons que les opérations pour lesquelles A est positif; et pour simplifier nous ne considérerons que des figures situées dans Tangle .rO^ou dans son opposé par le sommet; cette res- triction qui n'a rien d'indispensable ici correspondra plus loin dans rapplication à la théorie de la relativité, à une réalité physique.

Déplacements. — Le grouj^e des déplacements comprenant les translations et les rotations autour d'un |)oint quelconque se re- présente facilement par les formules

{ a: = rt -+- X X,

Comme le groupe euclidien plan, il dépend de trois paramètres.

Distance de deux points. — lùant donnés deux segments de (\ro\[c pf{Xf.i yt) p^i-T-i-, y>) cl l\ 1*2, il n'est pas, en général, possible de les faire coïncider par un déplacement (5). La condi- tion nécessaire et suffisante pour (pie cette opération soit possible

3o rHAi'ixniî m.

est (]in'

(6) ^.r,-.rî)(.)-,- Kj) = (\,-\2)(Y,- Y.,V

Nous (lomioron> ."i l.i (|ii, mille

(7) S = y/(.ri — ^î)(J'i— .Xî)

lo nom (le tiistance des points />,. />j, cl nous |Hiiirrons dire en l;\ni;aj;e ordinaire : la condition nécessaire et suHisanle pour que deux sei;n)cnls de tlroile />(/>2, l'( Po puissent être amenés à coïncider, est ipi ils aient même longueur. Les déplacements (6) conservent donc les distances, au sens où désoi'mais nous enten- dons ce mol. JNous nous occu|)eroiis plus spécialement dans la suite des rotations hyperboliques autour du point O : ne diiïérant (jue par une translation ordinaire du déplacement hyperbolique le plus général, ces rotations nous suffiront pour l'étude des ques- tions fondamentales.

Unité de longueur. — Soit M un j)oinl de coordonnées x, y. D'après la définition de la distance 0, appliquée aux points O et M, on a OM =1 jcy. Le lieu géométrique des points situés à la dis- tance 1 de l'origine () est l'hyperbole éqiiilatère

Si sur le rayon OM on fait glisser le segment OM, ou si on lui fait subir une translation quelconque, il conservera toujours une lon- gueur égale à i. On peut dire qu'en ce qui concerne les distances, notre plan est homogène, mais non isotrope; on peut construire des géométries métriques où la propriété de l'Iiomogénéité dis- paraît.

/droites de longueur nulle. — Si le point M est sur Tun des axes Ox ou Oy, on a OM = o. Les |)arallèles à Ox ou à Oy sont donc ici les droites de longueur nulle ; ce sont elles qui remplacent les droites isotropes du plan euclidien.

Conservation des angles. — Soient deux points MM', de coor- données xy, x'y'. Les rotations (4) conservent la grandeur de l'expression

(8) mï' = {x-x')(r-y).

GKOMKTRIK IIVI'KIUlOl.lyt K SI'|;(:|\LE A Ol-l A DIMENSIONS. 3l

Or on peut éciire MM' = xy -i- x'y' — (xy' -h }'x'). Et il résulte de là (lue la coinhinalson .ry'-i-yx' est un invariant relativement aux rolalions (4). Nous itlloii> pn-ciscr- l;i ii.iliiic diî ccl invaiiant, en rtcndant ici la fornudo do Lîi^uciie ( (!lia|). l). Inlroduisoiis en eflet les coeflicienls angulaires

X ■ y

.r ./•

\jr nippoil anliariii()iii(|ii)'

p = (O.M', <J,M, i)x, Oj),

, , . ni' ^ . , ,

S cent 0= — • L.ettc (iiiantilc csl un iiivaiiani, en vertu des nro- ' m ' ' '

priétés classiques des liaiisloiinalions projcclives.

Mais si Ton app( Ile angle des directions OM', OM la quantité

V = - l^ogp, on a y/p -i — — = <?^H- e~^'= i> oliV, et l'on voit qu'on

? . ' V?

peut écrire

(9) xy' -^ yoc' =z riL^xy .x'y' .c\\\ ,

ce qui |)erniet de reni|)laccr la formule (8) par

M M' ' = Im' -^ OM'' — 2 . 0 M . ()i\r ch V.

Notre géométiie est donc constituée quant à ses principes. Nous connaissons en cirel, rexj)ression analytique générale de ses dépla- cements, et nous avons dégagé les invariants fondamentaux qui jouent le rôle des distances et des angles.

Nous allons maintenant étudier quelques questions simples, afin de préciser les |)oiiits où les diflerences avec la géométrie classique sont notables.

Puissance p""^>^ d^ une rotation. — La rotation

( X = IX,

(4) (R)< Y

fait coi resjjondrc à la dr()it<' de coefficient angulaire m une droite de coeflicient m'= niX-. Si Ton fait subir /) fois de suite la rota- tion (4) à cetle droite, elle prendra une [)osition de coefficient

3' CIUPITRI' III.

angulaire nip (.léllni par la relation

Si p grandit, celle droite se rapproche indélinimenl, soit de Oy, s«)il de Ox, suivant la valeur de A, mais jamais elle ne revient en arrière. Rien ici ne peut conduire à une théorie de poljgoncs réguliers d'un nombre lini de eùlés. Les angles h^perl)oli<|ues autour tlu point O sont c()mj)arables aux longueurs sur une ligne

droite. On dit que le groupe des rotations i, R R/', ... admet

un domaine fondamental.

Eléments orthogonaux. — Soit un angle MOM' : examinons si, étant donnée notre définition

V = -Log — , ■X m

il est possible que \' = — • On aura alors

ch V = o ou ni -i- m' = o.

On dit alors que les droites de coefficients angulaires m et m' sont perpendiculaires. Par exemple, la tangente Mï à l'hyperbole

(4) ^y = i-

est perpendiculaire au rayon vecteur OM. El si l'on prend sur MT un point P fpielconijue. OP coupant (H ) en Q, on a

ÛM = û(^ = I et ÔP < ÔQ.

Ceci indique qu'en géomélrie hyperbolique, la perpendiculaire menée d'un point sur une droite est plus longue que toute oblique. Ce résultat peut être précisé. On a, en désignant par x'y' les coordonnées du point P,

y y — y'

— -t- -, —, = o,

d où l'on tire

x'/ = xy^{x — x'){y —y'),

OU supposant P dans l'angle xOy.,

Tîv' ='ÔM' ->r{x — x'){y—y).

CÉOMKTRIE HYPERBOLIQUE SPÉCIALE A DEUX DIMENSIONS. 33

F.;» (jiianliu'; (x — -z') (.>' — y') ^^^ in''<;nù\c, el, au sons de noire ciclinilion, la dislaïu'o MP n'est pas réelle; nous conviendrons de ilésignn- par le symbole Ml' la (|ii;itililé

i/\(j; - -x' ){y ~y)\^- i\/(x — u-')( y-~y),

el nous lerons cell*' convcnlioii pour loutcs les distances inia;^i- naires. Cela revient à faire jonei- le rôle dn eerele x- -\- y' = ^ à l'ensenihle cnnslitiK' par les deux hyperboles eonjuguées

.1 y - I . ly = — 1 .

Celle coiiveiiliuii iK^iivelb,- n inlrodiiil pas de coiil riidiclious dans ce qui précède. Nous pouvons alors éerire

<Tr" = 7T\ï" — MÏÏ'.

(]'est là le lliéorèine (jui. inoveniiaiil iio-> délinilions el nos conven- lioiis. reniphuc le lliéorénic de l' vllia^ori'.

Aires. — Nous ap|)eilerons aiie du domaine plan U l'ialégrale / / d.rdy\ nous ne niodilions pas la délinilion (^dinaucde l'aire. Kt en efl'et, les aires ainsi définies sont inaltérées par les Iransfor- malions (0); il est donc légitime de les considérer ici.

Soit à évaluer, à titre d'exemple, l'aire du triangle MOM', les points M, M' étant situés à l'angle xOy et sur la courbe xy =. i . Si m et m' sont les coefficients angulaires de OM el OM', et si xy., x' y' sont les coordonnées de ces points, on aura

, , m' — m

■). S = xy — yx = — z=- = sh V . \J mni

D'où en général la formule

S = -OM.OM'shV.

2

A aire représentation analytique des rotations (/{). — Si, au lieu des asymptotes, nous prenons pour axes de coordonnées les axes de symétrie des hyperboles (H) considérées plus haut, nous avons, en désignant par x' y' les coordonnées nouvelles.

y = — >

Y — X

' /^

34 cHAiMTni: III.

el 1.1 ili^l.mco (lu |)t)iiil M nu ci'ulrc <'sl cUmiiu't |>;if la lurunilc

aÔÎVÏ =x'* — yK

Si nous j «osons ;ilors

X = f?,

les formules (4) prendronl In lormc siiixanlt' :

^ a''=; \' cho -i- Y '^li cp, ^'"^ î y=X'shcp -^ Y'chti,

d on I on lire dai Heurs

(II) .r'2— r'2= X'-^- Y'2.

Nous aurions évideninieiil |)ii piniir de la lorniule ( i ij; un raison- noment pareil à celui que nous avons utilisé dans la déLernunalioii des déplaecinenls euclidiens à Irois dimensions, nous aurait donné les foiinulcs eénéralcs

^ x' = a -\- \' c\i o -h Y' sli (i.

(•«) ) , , V' I ' v 1 '

f jK = o -+- A ?n ç -^ 1 en cp.

Application à la théorie physique de la relativité. — Soil une droite fixe ( A ), sur laquelle il a été fait choix d'une origine el d'un sens de parcours. La présence à riii>tanl / d un mobile déterminé au point INI de (A) <pii a |)Our abscisse x est un phénomène qui dépend des deux nombres x el t. Ce phénomène est, selon l'ex- pression quelquefois employée, un événement de l'histoire de la droite (A). L'étude de ces événements constitue donc, somme toute, celle d'une multi|)licilé à deux dimensions; nous lui donne- rons la forme d'une géométrie à deux dimeusions t el .r, et nous appliquerons cette représent.ition au problème simj)le de la com- position de deux mouvrm«nls uniformes sur (O), en admellanl le princi()e de relativité, sous la forme que lui ont donné les travaux de Lorenlz, Minkowski, Einstein.

Examinons d'abord ce qui se passe en restant dans la cinéma- tique classique. Ln mouvement uniforme sur ( \) est représenté par l'équation

(i3; X = vt,

c.éomktiue: iivPEnnoLiyuF. spéciale a imv\ dimi-nsions. 3j

( 1 4 ) X = (v -r- i'' )t ;

et à 1 ('(111, il mil (i.\) nous asso(i('i(»ris la (IkhIc !)' coi rc-^j»((ii(l,iiile.

Ce t'liani;('iu('!it du svsli'ine de comparaison a donc [loiir image, dans le plan ( )x, Ot, une Iranslormalion simple de droites passant j)ar lOnyiiie des c()ordonn(''es. Celte eorrespruidaiK c entre IJ et I)' est une corres|)ondance iiomoj^rapliicpie ; les ravoiis doubles sont confondus suivant Ox. (^)ucl(|ue j^rands que soient les nombres i", (•', s'ils restent finis, les droites D' n'atteindraient jamais la posi- tion ( )./'. ! )r deux iiKMiN ciiiciils de \ ilox' liiiie résulte un mouve- ment de vilesse tinie, e Cst là une proposition ('videiite.

Voyons maintenant ce (juc (b;\ ient la transfoiiiialion de droites (D,D') si nous admctl(uis le |»riiicipe de lelati vit<' : Irt vi/esse de la lumière est indépenddnte, vigoiiveusement^dehi translation uniforme de r observateur f/iii la mesure ( ' ). Nous sommes con- duits à admettre cpie si le mouvement du pointM s'effectue avec la vilesse de la Itiiuit-ic •^ur A. il s'eirecluera aussi avec la vitesse de la lumière siii- A| ; et comme ri'-n ne nous empêche de prendre ptjur unité de vitesse cette vitesse invariante de la lumière, nous sommes conduits à cette cons(''f[ucnce cpie la tiansformatioii de droites considérée, (pielle (|u'en soit sa nature, admet les droites J7=^, X =. — t comme droites doubles.

Si donc nous admettons que celte transformai ion est une tiaiis- formation linéaire, elle sera nécessairement de la fornKî

\ T = X(<clio-f-j?slicp),

(') M. Einslem, (]ans ses dernières reclieiclies, ii aijandonné celte liypoihèscde l'invariance de la vilesse de la lumière el l'a remplacée par l'IiypoUicse que celte vilesse esl liée aux vaiiulioiis du champ de gravitation. Dès lors, la lliéDrie de la relativité que nous développons ici. j"iie le rfi\e de deuxième approximation (la cinémali<|ue classique étant une première approximation ) ei correspond au cas où le champ de {gravitation est seiisiblcmenl uniforme. Pour tenir compte des variatiods de ce champ, une troisième approximation <st nécessaire. [ Voir KiNsTRiN, Entwurf einer vcrall^emeinerli'r fteltttiviialsltieorie uiid einer Théorie der Gravitation (Zeilsclirift fiir Matliematik und l'Iiysik, t. I.XII).]

36 CIIAPITUK III.

OÙ

\î_T2= '/r-[.r-— (■-).

\ l'axo ()/, (lui rcprt'-scnlc Ir repos {.v = o), rorrespond la tlioilo \ = Tllr^, «M à iiiie tlitiile tpiclroiupie .r =: ut (jiii repré- sente un niouveinent nnilorme avee la vitesse u, l'axe 0/ étant pris comme l)as<', eorrespoml la dioile

\ tli o ->- M

(i3)

I' I -r- » tll Ç>

(pii représente un mouvement uniforme dont la vitesse est

ilio -+- u ti' = ' i — »

I -T- u II» Cp

l'axe OT étant pris comme hase.

Mais la ipianlité c:=ili'j est précisément ce quOu appelle en cinémalupie la vitesse cV enlraînenienl^ c'esl-à-diie la \ilesse représentée par l'axe O^, lors(:|u"(ui prend comme hase Taxe OT.

La formule (i3) devient alors

(i4) w = — .

C'est la formule de composition des vitesses dans la théorie de la relativité. Dans cette formule, u désigne la vitesse relative, c'est- à-dire la vitesse par rapport à la hase O / ; v est la vitesse de la base O^ par rapport à la hase OT (vitesse d'entraînement) et iv est la vitesse résultante par rapport à OT.

Nous voyons que si ii et c sont tous deux inférieurs à i , iv est inférieur à i , car on a

r I — « ) ( I — (• )

I iV = j

I -- tu

de même si u et i- sont compris entre o et — i . a- est aussi compris entre o et — i .

De deux mouvements, dont les vitesses sont toutes deux infé- rieures à celle «le la lumière, résulte un mouvement jouissant de la même propriété. Nous voyons cpic le rôle joué en cinématique classique par une vitesse infinie est joué ici par la vitesse de la lumière. Et ceci nous montre hien comment, même en admettant

(JKOMirmi: m pinutoiiui ic si'i-:<:i \i.i: a hki \ oimknsions. 87

i\' — ( // -r- e ) = ( H -♦- e )

^ I -t- IIV

est tin inlinlinent pelil ilu iroisièine ordre, c'esl-à-dire du second

ordre par rapport à iv ('j.

Si 1 ou pose

( ^/ = tlia

(i5) v==tl.'^

f u' = ll.O,

la forinule {i i) de\ ieul

(16) ll.O

I -4- tli a lli y

c'esl-à-ilire coïncide avec la foiiuule daddilion des tangentes liV|»eil)oli(|ues : on peut donc, niovenuanl les é(|uations (i5), ramener la lormule de composition des vitesses à la (orme simple

0 = a -i- Ci

loul à fait analogue à la formule de la cinématique classique.

Nous voyons finalement que les transformations de droites pas- sant parO, et correspondant aux changements du système de com- paraison pour les mouvements représentés par ces droites, ne sont autres rpie les rotations hypeil)oli(pies (|ue nous avons étudiées plus haut; les vitesses sont représentées par les tangentes hyperboliques des angles de rotation, et ce sont les angles de rotation eux-mêmes qui s'ajoutent algébriquement dans toute composition de mou- vements.

(') La vitesse île la liiiniLTC étant d'environ jiooooo'-'" par seconde, une vitesse de 300"* à la seconde est de l'ordre 10-*; Terreur du second ordre est donc de 10-". Klle est inaccessible à la mesure. Or, la vitesse de .5oo"' à la seconde réprésente à peu près le maximum de ce (jui a été réalisé dans les appareils mécaniques (moteurs et liélices d'aviation); les vitesses balistiques elles-mêmes ne sont d'ailleurs pas très supérieures.

CIIAPITHK IV.

LES DÉI'L\r.EMENTS llVPEiUKM.IQUl-S A TROIS OU QUATRE DIMENSIONS

KT LEUR APPLICATION

A I. KTlDi: DE LA CINÉMATIQUE DU PRINCIPE DE RELATIVITÉ.

On jtoul (Itliiiir un groupe de déplaremenls livj)erboliques dans l'espace à trois dimensions en prenant pour invariant fondamental relatif à deux points la forme quadratique indéfinie :

Dans ces conditions, le lieu géométrique des |)oints situés à une dislance de l'origine égale à l'unité est l'hyperboloïde (II) repré- senté par l'équation

(a) x--^}-—z- — I = o,

et Ton jK'ul liirc (jue lunité de longueur (pie nous prenons sur une droite donnée (A) est la longueur du demi-diamètre de (H) paral- lèle à (A); il y aura donc des droites sur les(|uelles l'unité de lon- gueur sera purement imaginaire, nuiis nous pourrons, s'il y a lieu, adjoindre à riivperboloïdc (H) son conjugué (H'), ce qui revient à prendre pour distance de deux j)oinls la racine carrée du module de la forme F relative à ces deux points.

Si nous étudions la géométrie dans un plan l' passant par l'ori- gine, nous aurons une géométrie à |)f)inls cycliques réels si ce plan coupe le cône (c) asjnqUote de l'iiypcrholoïde (H), et une géomé- trie elliptique si le plan P ne coupe pas le cône. On aura donc, dans le j)lan :; = o, la géométrie euclidienne ordinaire. Enfin, dans un plan tangent au cône (c), on obtiendrait une géométrie parabolique à l'étude de laquelle nous ne nous arrêterons pas, malgré l'intérêt qu'elle pourrait présenter.

Déplacements. — l ne analyse toute pareille à celle qui a été

l.i;S DKPI.ACKMENTS II VPEnROLIgrRR A TROIS OT yl'ATRK DIMKNSIONS. Sq

fiiilc il [iiopos (le ICspace eurli<ii('ii (ioiinet'ail poiir Ifs déplace- miiils (IfWiiii*; par la forme (jiia<liiiti(pie (i) les formiilrs Lc'nt'i ;il(s

1 jr = a -+; « \ • ^ Y -f- c Z, ( 3 ) • )■ = a' -V «' \ -+- 6' Y -1- c' Z,

' z = a"-+- «"\ -+- //Y -(- c'Z,

où a, a', 7." soni Irois coiisiaiihs ai hilraircs, cl les neuf cosinus, f'Iéments <lii fl«''lermiiiaiU

Il h r a b' r' a" b" c"

vcMilifiii les six relations indépendantes

Ia--~ a- — a"'- = i, ab -+- a' b' — a" b" = n, b- -H b- — b"- = I , ac -h a' c' — u'c" = o, c- -h c'- — c"- = 1, bc -r- b' c — b' c" =3 o.

(1(111 I csiiltciil d'aulres relalions U-iles (pie A-= i.

< )ii peut écrire le tableau des neuf cosinus en fonction des^lrois

pai'.iMK'ires \ —■, -, (TOlindr Ho(lri</ues, de la manière siii\anle :

pop ^ '

0'/ = À- -T- u-'M- v- — p'^, oa' = 2( X[JL — vp ),

Ofi"= v>( Xv — fJlp),

fjb = ,>.(X;ji — vp),

0 b' == — ),-^ -r- a- -^ -/î — p2,

o6" = '•'•(Xp -+- |Jiv), oc = — u( Av -H ;i.p),

oc' = v(Xp — jav),

6 c" = — ( A- -i- [i.2 -+- V- -(- p2 ),

(3)

avec

8 = A2-t- a2_ p2— v*.

I^a rolalion repn'-sentée par les formules

!./• = « \ -H /> Y -f- c Z, _^ = a' \ -H 6' Y -f- c' Z, - =rt''\ + 6''Y + c"Z,

se n'-duil à une rotation euclidienne autour de Oc si l'on a

X = o, [i. = o ;

.,o

m coiilrairo, si I On .1

/. = o,

c •">( iiiu" rolalKHi hyperbolique autour de Oy, dans loiis les cas, tous les points de la dioile t- = — = ". fini est Taxe de la rolalioD, sont laissés in\arial)lfs.

Nou<> Ntiyons (HIC la i;<'-oiiiflrM' li ypciholnpii' ;i Irois di inonsions que nous \enons de di'linir 110 ddlere tic la i;éoniélii(^ ordinaire ni en ce qui concerne les tr.inslalioiis, m en c(,' (jiii concerne les rolalions autour de O^. Noii> allons yoir que celle |)i()|iiiélé des dcplacenienls liyperholiqnes de comprendre certains déplacements enclidiensà un nombre moindre de dimensions, subsiste dans l'es- pace à quatre dimensions, où l'on pourra en tirer un parti fort utile.

Mous |)ouvons constituer une géométrie iix'trKpie à nu nombre fpielconque de dimensions en prenant pour pr)int de départ l'inya- riance d'une certaine foriiK- (piadratique pai- Ions les déplacements de celle géométrie, i'rcnons, en parliculier. la lorme à trois carrés positifs et un carré négatif (')

F =(:r, — .rj)24-(j, - K,)2-^-(c,-^.,)2-(/,-^2)^

dans l'espace à quatre dimensions x, ^\ z. f.

Il est inutile d'insister sur le détail des changements à apporter aux définitions et aux formules du Chapitre III. relatif à la géomé- trie quaternaire euclidienne. L'expression générale des déplace- ments laissant la forme V invariante sera

(7)

I X = a. —a \ -- ù Y -4- c 'L ^ d T, r = x' -+- a' \ -T- 6' Y -4- c' Z -t- fl^' T,

^ = a" ^ n" \ -f- 6" Y -^ c" Z -t- d" T,

l = 7'"^- a" \ ^ b \ ^ c Z -^ rf"'T,

et les seize cosinus, éh-ments du déterminant

A =

b	c	d
b'	c	d'
b"	c"	d"

(') Dans l'espace à quatre <liiiiensions, on pourrait considérer aussi une forme à deux carrés positifs d deux < yrrcs négatifs; cette ^lométrie ne présente pas d'intérêt pour notre but.

I.KS DÉI'I.ACKMKMS m l'Chltnl.lgi; |;S A TKOIS OC Ot'ATIU-; DIMKNSIONS. fl

v<'rilifnl les ('•(jii;iliiiiis iiiili'|iriiil,iiilf-i, :iii rMiiiilnc i\ t- lo, «'^ -H «'- -+- a'* — r/ 2 = I .

0* -f. ^'2 -H //2 — ^"î =^ I ,

c* -+- c'- ->~ c** — c'"' = I ,

(«»

(8 his )

\ où

ih'

-h a o -^- « />

a'" h" ^ (),

Ou clL-iiionlierail. t-ii Mjivaiil pas à pas laiialvs*' dt'-jà faite, qut' tout déplacemenl ul (|ii<; (-) peiil se iain(Mi(3r à deux lolalions : l'une euclidienne, l'aiilre livperl)oliquc, eirecluées dans deux plans coniplèlement rectangulaires (le mot rrctati<j;nlaire étant pris évidcniincnl au sens des angles dcfinis pai- la forme quadrali<|ue F).

Les expressions des seize cosinus en fonction de> (piantités a, ^, V, À, !JL, V sont à peu près les mêmes : les six paramètres a, (i, v, A, [jL, V sont liés, au lieu de la lelation (i i) (Cliap. 111) par la relation suivante

a' -+- ji* -■- '["- — ),' — u^ _ v^ = — I .

A oici ce que dexient alors le l'ahleau des seize cosinus :

( ti.î -H V2 0(2 ^ COS 'J H- ( X2 — ^2 y! j cil 0,

I — (a^ -4- X|Ji)(cos'f — chO ) — V sin(p 4- y sliO,

— (av -H Xv )(coscp — cliO) -f- [JL sin'f — fi sh6, (va — Pv )(ooscp — cil 0) -f- a siii'i — >. sli 0;

— (a^ -4- À;x)( coscp — cliO j — v siiiœ — y shO, ( a2 -r- v2 — |"i2) COS ç> -+- ( [JL* — a2 — y' )ch 0,

— ( [i"' -!- ;jLv)(cos«p — chO) -^ X sinœ -4- a sli6, ( av — A-; ) ( COS œ — ch 0 ) -4- p sin » — [i sh 0 ;

— (ay -r- Xv)(cos9 — rli 0 i — usines -H fi sliO,

— (PY"*" Hiv)(cos'j — cliO) — X sincp — a shO, (Xî-4- |jiî— yî) COS(p -+- (v2— a2 — j32)cii 0,

(PX — aa)(cos'Y — cliO) -^ y *'"? — "^ *''''< ( ^v — Yjji^fcoscp — cliO) -f- a sincp — X sliO, ( Xy — av )( cosç> — chO) -H fi sincp — ;/ sli 0, (aijL — flX)(cosç — chO) s- Y sin'f — v shO,

— (t"-^ p2_uyî)cOS(|)-4-('X2-+- [Jl2-4- V^cllO),

C'est dans K' Iml de rej)rendre, par une m<'lli()de géométrique,

(9.)

•\* nui'iriu: iv.

1 cliitic (le quelques points de la ihéorie plivsi(|iie île la relalivilé, que nous avons inlrotiuil celle j;<''oinélrie hvperholique à (pialrc dimensions; nous allons \oir, en ellVl. (pTclle fournil mie repié- sentalion eoniniod<^ (l<^ V l'nii'crs.

C'esl Minkouski (pii a propose d'iulrodiiii-e daii> la.Seienccla nolion ijénérale de llnivers, synllièse îles deux nolions fonda- nienlal(<s de l'espace el du leinp><. l/liiivers, au sens de Min- ko\\>ki. peut être considéré comme l'ensemble des (•\(''nemcnls ([ui ont lieu dans l'espace el dans le temp-^, nu événemenl consistant dans le fait qu'à un instant donné /, en un |)oinl M de coordon- nées .r, r. r, il se passe une chose déterminée.

Cet l'nivers est donc une mulliplicilé- à (piaire dimensions, et nous pouvons considérer la Physique ^^énéraie, qui est l'élude de TLiiivers, comme une <;éométrie à (piatrc dimensions. C'est en utilisant celle représentai ion, sous une forme assez voisine de celle adt)plée par .Minkowski lui-même, que nous allons leprendie, à partir du principe de relativité, l'étude du groupe de Iransforma- lionsdes équations de rélectromagnétisme. Nous nous occuperons ensuite de l'important problème de la composition des vitesses.

Nous ne nous astreindrons pas à faire uue exposition purement logique, dans laquelle le nombre des axiomes est réduit au mi- nimum. Sans contester l'intérêt philosophicpie (pie peut avoii- une telle méthode pour une science abstraite, telle que l'arithmétique ou la géométrie, il serait très aitificiel de procéder ainsi dans une question où intervient une notion telle que celle du temps, qu'il s'agit précisément de critiquer, de manière à en remplacer la notion vidgairc par une conception assez différente. Tant que cette conception ne sera pas physiquement éclaircie. l introduclion d'axiomes abstraits ne pourra que masquer les difficultés an lieu de les résoudre. 11 semble donc préférable de ne pas craindre d'in- troduire des axiomes surabondants, dont l'absence de contradic- tion résultera du développement même de la théorie.

Dans le mode d'exposition de Minkowski, le temps est rem- placé par la variable imaginaire Xi,^=il; l'espace auxiliaire à quatre dimensions

Xi = X,

^2 = y,

•■^3 = -S, ^4 = 'V,

LES DKPLACKMKMS im'i;Hlil»l.l(,tl KS \ IHOIS OU yUATHK DIMENSIONS. j>

rsl un espace euclidien. Nous conservons la variable l; nos (|uatre cooidonnées x^ j)', :;, / représenteront les dimensions d'un espace (ictif ( 1'^'), cpii ne sera pas euclidien, et tlont nous allons essayer de niellre en lumière ccilains caractères.

In niouvenienl Ai- lianslalion lecliligne et nnifornie de l'espace K'cl (K) peut ('tic repi('seMt<'' par les écpialions

I Y ^ t (i b (• a

relati\es au mioiiv<'iimiiI du point (pu passe à l'origine des coor- données à l'instant /.érn. I.a vitesse VV du mouvement représenté par les cfpiations ( loi est doiiiK-e par la formule

(") ^^^= 7F^ '

(l étant supposé diJJ'crcnt de zéro.

Soit, dans Tcspace réel (A) le sj^slème de comparaison actuel, dans le(|ucl sont pris les axes O.r, Or, Oz^ et soit (B) un nou\eau svslème de comparaison, animé, par rapport à (A), du mouvement de trauxlalion reclilii;iH' cl iinilorme délini par les formules (i i ). Nous ferons l'hypothèse que tout mouvement de translation recti- ligne et uniforme par rap[)ort au système (A) est un mouvement de la même nature par rapport à (B), ou qu'en général, le mou- vement résullant de la composition de deux mouvements de translation rectdigne et iiiiif<inne est un mouvement de la même nature.

Soit donc (T) un certain mouvement de translation tel que les équations relatives au point de l'espace (E) qui passe en O à l'instant f = o sont

X y z /

(i-^-) — = 77 = - = -;

a o c i

à ce mouvement, rapporté au système (A), correspond ainsi une certaine droite (A) de l'espace ( E'), issue de l'origine des coor- données Oxyzt'^ si nous remplaçons le système (A) par le sys- tème (B), à cette droite (A) nous faisons correspondre une droite (A). A tout changement du système de comparaison tel cpie le mouvement d'entraînement soit une translation uniforme cor- respond, dans l'espace (E), une certaine transformation ponctuelle ;

4 i I II \i>i iRi: IV.

cl iu>u> Nii\oi)>> (iiif ( fllr I l'iiiisfoiiiiiil loM <li;ini;(» les droih'S issues de i'oiij^iin' en dioiles issues tie l'orij^ine.

Nous pouvons (lone iidrnetlre «|nc ("csl une liimsIoniKilion linéaire, repiésenlée jtar (l«'> (orimilcs lelli -> (jiic

1 \ = I j- -f- p ^ -i Y - H- o /,

( T = a'" j- -+- P'" V -'- y'" z -h o'" /.

Ou pcul r(>iiiiii(|iifi- (Hi ru (•iiK'inal Kjue classKjue ces loriuulcsse n'iluiseul à la foriuc

(«4)

\ = X .r -+- |JL V -+- ^' z -i- n' f,

Y = À' .r -t- ix y -)- v' 4; _i- ^' /,

Z = )/ J- -4- [l'y -+- v''3 -+- c' /,

T = /.

où /.. a, V. a', a'. V . ),", 'jl", v" sont l''s éléuicuts d'un déleriniiKint orliioj^onal.

\'oNOns quelle l'oruie générale il conviendra de donnei- aux for- mules (i3) si nous introduisons le principe de relativité, c'est- à-dire si nous admettons av«^c Einstein que tout mouvement s eflectuant avec la vilesse de la lumière [)ar rapport à un certain groupe d'observateurs, conservera la même vitesse par rapport à m\ autre groupe d ol)sei\ aleuis (piclcDntpie. mobile par rapport au premier ( ' 1.

Prenons cette vilesse invariable pour unih'. Les (Jroiles (A) (pu représentent des mouvements de vitesse égale à i devront con- server ce caractère par loules les Iraiisformalions (i-i)- Or, si x, r, ^, f sont les coordonnées d'un j)oinl M dune telle droite, on a

T- — y- -+- z''-

T^ " '' par suite, l'iiypotlièse

doit entraîner le résultat

X2-T- Y2-+-Z2— T2=o. (') Voir la note au bas de la page 35.

LKS DKI'LACKMKMS il M>Ki(IIUI.K>L ICS A TU(HS OU yLATRK DIMbNSiONS. 4^

Nous ii<liiirllr(>iis »l;iiis <t^ <|iii siiil (|(K' non siMileinenl celte condl- lion ♦•>! réalisi'c, in.ii> (|ii nii -.i iitMtrssiiiiciMCUl

(l')) .rî_u j-ï-l- 32- /2= \ÎH- Y'^-f-Z2— T»;

(•('Si en rciiiar(|iia(il (jiic, ilaiis II- ca^ où les axc.s(H) sont inva- riables |)ai' i-a|)|iorl à (A), les lormiiles (i .» ) dois etil assurer l'éf;alil('' (les distances x- -\- y- + z- et X- -j- V- -j- /,- (|ii(' llou>^ stimnes conduits à faire pour le cas y;i''n<'Mal eellt; nouvelle l»y(»olliè'se.

Dans ces conditions, les Iranstornialions honiofjjrapliiques (i3) se réduisent aux changenients d'axes de l'espace hyperbolique consid(ir('S an coniniencement de ce Clia|)ilre. C'est donc dans cet espace livperholifjiie (|u'il faut \oii' la icpr(Jsenlation de l'Unisers de Minkowski conrornie à la llu'oiie de la relalivit(*; le groupe de sul)>tiltili(>ns ainsi (U'-lini, et (|ui admet pour luvariant foudaineiital la (orme J'- -\- y- -{- z- — l- coïncide avec celui (|u'orj rencontre dans la tliéorie électrouujgiKJlique, et <jui est connu sous le nom de <i;roupe de Lorenz; ce groupe est à six paramètres indépen- dants, el l'on peut utiliser- soil les formules de Caylej, soit les formules du Tableau (()i pour la représentation d'une substitution de ce groupe.

Abordons maintenant l'élude dy\ problème précis de la compo- sition des vitesses :

Le fait de prendre le ssslème (B) comme nouveau s\slème de comparaison revient à choisir comme nouvel axe OT la droite de l'espace (E') représentée par les équations (lo). Les autres axes nouveaux OX, OY, OZ ne sont pas complètement détermim's; prenons-les de la manière la plus simple, c'est-à-dire

OX dans le plan xOy,

OY dans l'Iiyperplan Oxyz.

Utilisant alors les relations (8) et (H Ois) enlve les seize cosinus, nous sommes conduits par un calcul facile (') au Tableau suixant

(') Les expressions inscrites dans la dcinièrc colonne du Tableau (ifi) sont iiinnédialenient connues; on calcule successivement la i)reniicrc, la deuxiiiinc el la troisième colonnes en utilisant les relations (8) et (8 bis), ainsi que le fait «pie 0\ est dans le plan xOy et OY dans l'iiyperplan Oxyz.

46

de ces (ux-ffirienls

ciiArrriii-: iv

	(>\	OY	()Z	OT
0.r	/>	or	ar/	<■/
V f/«-f- 6*	\/<t- -r- 6* y'rt* -1- //- -H r ■!	v/«- - //--t- r-î
1 ) )-	— (I	Ar	A</	h
	^/„2 _^ /,J	y a'-— h- \' n- — h'^ -T c-	\^a- -^ b- -T- c-
Oz	O	~ { a- — />' )	cd	c
	y/„2_ /,i ^'a^^ /,î_^ c'	v/a* -h ^* -H t'
	o	<)		(/
nt	^/„î^/,2^f.î

où nous supposons a, 0, c\ d, qui n ont t-lé juscpi ici drfinis qu'à un (acleur commun près ('), choisis de manière que

ce qui est évidemnieni possible si la vitesse W est inférieure à Tiinité, ce que nous supposerons; il ne paraît pas possible, dans la cincinallque du principe de relativité, d'admettre l'existence de mouvements s'efTectuant avec une vitesse supérieure à celle de la lumière; l'existence d'un tel phénomène, en effet, ne serait pas compatible avec la notion même de causalité. On peut alors écrire, d'après Téipiiilion (i i),

(«7)

d^

1— W-

(^ela posé, soit (C) un certain système, animé par rap|)Oit à (A) de la translation (T) définie par les formules (i 2)^ proposons-nous de trouver le mouvement de (C) par rapport à (B), et, d'une ma- nière plus |)récise, de calculer la vitesse de ce mouvement.

Les équations (12) doivent donner les suivantes :

(18)

Y

Z _ 1

d\

(') Car les équations (10) ne sont pas> modifiées quand on y remplace a, /y, c, c/ par des quanlilés proporlionnelles.

I.KS iii;i'i..\<:i MKNTs m l'i uiioi.ioi i> \ iitoi-

H V I m |>IMI \-I(i\<. |-

a\ .— Il' i-os0.r, 0\ -+- l>' cosO^',U\,

b\ = acosOa-,OY -+- ^^'cosO^.OY -t- c' cosO^.OY,

c', = «' cosO-r, OZ -f b' cos Oy,0'L-\- c' cos Oz,OZ -+- cosOz,UT.

d[ -^ a cosOa',OT -+- b' cos0^k,OT -4- c' cosOi, OTV cosO^OT.

c'est-ii-dirc

b(i' — ah'

b\

ai C(i' — ttc } — b( <// — bc' )

(■«>

\/a--r- b- \/a- ~ b- ■+- c d

= ( Od -r- bb -T- ce -1 ; I

C> \ . d }

\ ^a--\-b

\ d'i ^^ aa ^ bb' -r- ce' — d.

relalions (|iii |)ermellenl crccriiT*

« ,- -1- b\- -^ c,- — t/,'- = </--:- b'- -r- c'- — I .

Dès lors, si nous désignons par V la vitesse de (C) par ia|)porl à (A) et |)ar U la vitesse de (C) par rapport à (B), nous pouvons calculer L. en l'onction de V et W.

Nous a\ons, en ellel,

rT,_ «',- -f- b';- -+- r\^

et, par suite,

d\- ( U- — I ) = a'f -+- 6,2 -+- r',2 — df = a"- -h I)'- -f- c- — i = \ "^ — r .

Mais la fpi.itrième formule (l'j), donne

^/; = f/(i -I- V.,.W^-^ V^W,.^ V;\V;),

cl si h désigne l'angle, dans l'espace réel, des vecteurs \ et W ,

nous avons

d\^ = d^\^ V\VcosO)2,

d où, par comparaison,

(•21» )

,_ij,^^'-v^)('-:^V2)

(i-t- VWc<)sOj2 Telle est la formule île la coinposilioii des vilesses dans la ciné

48 nivi'iiiii". IV.

iiinti(]ii(- ilii prinripr tic ii'lalivil('' ; nous I t'orirons aussi

V'ïH- W!^- aVW «osO — VnVî sinîO

U« =

(I -h V'W 0(»sO)-

Nous voyons (|u\mi prenanl V cf W excessivement petits par rapport à runilt', ce qui est le cas dans tous les problèmes de M«'oaninue pur«\ la lornudc se réiluit à (('Ile de la Mf'-eanique classique. I.a liu-mule (■>. i ) montre, d autre part, cpic l est inférieur à lunilé si \ et W le sonl, quelque voisin»^ d'ailleurs qtu^ \' el W puissent être de i ; cela signifi».' phjsitjueuu'nt (pie la xilcsse résul- tante de deux vitesses inférieures à celle de la liiniirreesl inféiieure à la \ilesse de la lumière. Ces deux résultais sonl d'une inipor- tanee considérable.

Reprenons maiulenanl les expressions du Tableau (lO). lin \ crlu de la relatuin

a- -H 6- -H c- — {(- = — 1 ,

nous pouvcuis poser

J= cl) A.

cl nous avons alors

W = ih>..

l tilisons également les deux paramètres h el o définis par les relations

b

, = COS'f,

v/a2-,- 62

/«--+- (j-

et

y/a^-i- 62-h c'

= tosO.

= suiO.

\/a'- -r- b- -r- C-

Le Tableau des seize cosinus, en fonclion des liois paramètres©,

LES DEPLACKMENTS II VI'KIlIKtl.KH I s A TUdlS OU gl'ATnE DIMENSIONS. .{9 0 ri "/,, (IrviCIll illurs

(7 1)

	\	^	/	T
r	cosw	sintp cosO	sinç sinO cliÀ	si no «inO shX
y	— sinç	cfiso cosO	CCS» sinO cliX	cos'i sinO shX
-	G	— sinO	cosO cliX	cosO sliA
/	0	0	si./	rh).

Si Ton avait V\ = u, c'est-à-diro si cli A = i , la siih.sliliilion linéaire se réduirait à la substitution expninanl un changemenl de coordc^nnées reclani;ulaires.

Dans Tespace à quatre dimensions (E'), riijpotliùse précédente revient à reni()lacer les axes OXYZT par les axes OX,Y,Z,T,, OX, et OY, coïncidant avec OX et OY, mais le système OZ,, OTi, pris dans le plan OZT, fait avec le système OZ, OT un angle hyperbolique dont le cosinus est cliA. Voici à quels phénomènes ce changement correspond : les longueurs portées dans respace(E) sur les axes OX, OY, perpendiculaires au mouvement, sont inal- térées; colles qui sont dans le sens du mouvement sont multipliées, du tail (\u mouvement, par le fadeur cliA; une longueur ayant la direction du mouvement est plus courte pour des observateurs au repos par rapport à (A) que pour des observateurs liés à (B); c'est le phénomène de la contraction de Lorenz. Nous sommes éga- lement conduits à admettre ce rapport ch). entre les temps des deux groupes d'observateurs, et c'est ici la notion du lomps " ropre (|u'on rencontre dans la cinématique de iMinkowski.

Ces dernières conclusions nous montrent à quel point les no- tions de l'espace et du temps absolus de la Mécanique rationnelle diffèrent de celles que nous suggère l'étude de la théorie de la relativité.

Si nous revenons à la formule |)roprement dite d'addition des vitesses, et si nous prenons les nomellcs variables a, |il, v définies

en posant

!M = tli a, V = lli^, w= lliY, B. 4

DO (IIVIMTIU: IV

I— «î =	1
■ l'î —	1
1 — i —	••i.«;i
I — «V* =	1
	cl«*Y
' s'éciil

cl la rrlalioii onlie a, .j.

(il ) cil 2 = cil 'i cl» Y -(- sli ^ «Il Y co-^0.

( )ii rorouiiiiil là I une des relations loiuiamculales enlre les lon- gueurs (les côl«^s, el les angles, d un liiangle géodésif|ue tracé sur une surface à courbure totale constante négative, ici égale à — i. Ainsi le triangle formé par les tiois vecleurs-vilesses :

(U) vitesse de (B) par rapport à (C), (V) vitesse de (C) par ia|)port à (A), (W) vitesse de (A) par rapport à (B),

correspond, en verlu des lornuiies (2"?), à un triangle pseudo- sphéri(jue bien déterminé. Le résultat exprimé par la lornudc(23) a été indiqué par M. Sommerleld, en 1909, dans la Physikalische Zeitschtift.

Xolion de r espace cinctnaliquc . — • A loul niou\cment (^M) de translatitm recliligne et uniforme ni»M> pouMms faire correspondre lexlrémiti' M d'un vecteur ajant une origine fixe O, el équipollenl à la vitesse de ce mouvement. Le point O est alors le point repré- sentatif du repos. L"es|)ace des points-vitesses tels qu(; AI peut s'appeler espace «les vitesses ou espace cinétnatirjiie.

La considération de I espace cinématique permet une représen- tation sinqjle du résultat de loul piobième de changement du système de comparaison. Si nous raj)|)orlons le mouvement du système (M; à un s^'stème (A) représenté par le point r/, c'est le vecteur ain, au lieu de Om. qui donnera la vitesse du mouve- ment (M»; les points de l'espace cinémalijpie conservent donc leur siguilicalion. en prenant pijui point rcprf-.-enlalif du repos celui qui convient. Jjans la rinéuiali(jue classique, nous avons là une image de la composition des \ilesses, si l'espace ciriématique est I esj)ace euclidien ordinaire.

i.Ks I)i';i>i.\<;i;mi:nts m I'Khiioi.kh i;s a mois or yi \tiii: ihmknsions. fii

M.ii^ il;ill> l.i lli'inir ilr l.i li'l.i 1 1 \ 1 1 •' , >i lloii-> v<»ill(»n>> llliliscr celle re|)it'sciil;il nui ilc hi ('oin|)o-.ilitiii (lc-< iiiniiv «-iimmiIs. iimis Sommes ooiidiiils i\ iil iliseï- un es|iyci' à cou il) lire loUile égiile à — i , sur les droites ilui|uel nous iwpr/'seuleroiis nos vitesses en portant lis l(>iij;iii'urs a. j, *', .... de miiiiicrf;! ;i\nir lc> lri:iMj;les ^('-odé- sit|ues étudiés [dus iiaiil. C Csl ce (jiie nous |»(uivons exprimer en disiinl (jut; l'espiuM* ciiiémalicpie (pu corres|)oiid à la iiiécunK|ue <lu piiiieipe de ndalivité n'est plus euclidien, c »,'sl un espace di: l.(d».ils( jnw >ki.

\jV. ia\oii de coin hure de cet espace est la vitesse de la liiinière| ce résultat sexplicpie par le caractère d' unité absolue (pie joue ce iioiiilur dan- lis llu'orii's pliv>i(pies nou\(dles. ()ii jniil dire (jiie lespacc cinémalnpie des j^éouK'lres est eu( lidieii parce (pi il n'existe en (jéoiiK'lrie aucune lon<;ueur jouissant de propriétés spéciales ; cl, comme toujours, nous Irouxonsipie la vitesse de la lumière joue dans la théorie de la rclaliv ilt- le nMe d nue \ilesse infinie en Mécanicpie rationnelle.

Dans le cas d'un système dont le mou\emenl (M) a une \ilesse variahle, soil en i^iandeiir. soil en direelion, il lui corrcs|)ond une certaine coui-|)e dans Tespaoe cin-niaticpic ; cette courhe est I lio- do^rapheen Mé-canique rationnelle ; cette rcprésenlation peut être utilisée pour I étude des accéli-ralioiis et de la Dviiamnpie.

LA THKOIME DK LA KKLATI VITK ICT LA CINÉMATIQl E ( ' ;.

lin ('tudiant géométriquement la théorie de la relativité, sous la forme (jue lui a donnée le regretté Minkowski, j'ai été conduit à des conséquences (jue je voudrais hrièvement résumer (-).

( ' ) Ce qui suit, jusqu'à lu lin du Ciiapilre I\', esl la reproduction d'une Noie publiée dans les Comptes rendus de i Académie des Sciences (l. 150, ^o janvier 1 91 3, p. 2i5); on y a laissé subsister quelques phrases <|ui font doul>le rniploi avec la rédaction de M Deltiieil, car leur suppression aurait rompu la suite des idées.

(') M. l'aul Lanj;evin, à (jui j'ai communique les résultats que j'avais obtenus, m'a appris ijuc l'une des formules auxquelles je suis arrivé a été indi<iuée par M. Soïiimcrfeld dans la Physikalisclte Zeitsvhrift, dés lyog. Mais il ne semble pas que la notion yVespace cinématique, sous la forfiie précise que je lui donne, ail été mise en évidence. Un ne la trouve pas, en tout cas, dans les exposés syniliéliqneslels que celui de M. Laue {Das Hclativitiitspvincip, 191 1) ou celui de M.M. V..-\\. \>ilsoii cl G.-N. Lewis {l'roceedings of llie American Academy of Arts and Sciences, novembre 191 '), postérieurs à In publication de M. Soinmerfcld. loir la Note \'l.

31 CIIAIMTKK IV.

!. (iOiisitlorons trois s\slènies (A), (B), (C), rcspecii veinent animes de inouveinenls de translation iinifornies. Désignons par v la vitesse de (H) par rapport à (A), vitesse mesurée par des obser- vateurs liés à (A), en prenant pour unité la vitesse île la hiniière (pour ces observateurs); nous désignerons de inéiue par jîi la vitesse de (C) par rapport à (A), et enfin par A l'angle des direc- tions de V et de 3. Nous délinirons de inéine la vitesse a et les angles H et C. (^n doit observer que la théorie de la relativité entraîne que la vitesse de (A) par rapport à (B), mesurée dans (B), est égale au nombre y que nous avons défini. Nous poserons, sui- vant une transformation bien connue : y.=^l\\a, ^ = tli 6, y = thc. Les nombres positifs a, b, c, sont ce qu'on jxMit appeler les vitesses l' rai es.

Cela posé, la formule d'addition des vitesses cpie l'on doit à M. Einstein ex|)riine que les relations entre a, h, c, A, B, C sont précisément celles qui lient, sur une surface à courbure constante négative, les côtés et les angles d'un triangle. La formule de M. Einstein donne aisément l'une de ces relations (' ) etia parfaite symétrie de nos définitions entraîne les deux autres; la connais- sance de b, c, A permet ainsi de connaître, non seulement a, mais les angles B et G.

2. Etant donnés divers systèmes animés de mouvements de translation uniformes, on peut représenter leurs vitesses par les extrémités de vecteurs ayant comme origine commune un point O qui correspond iiu système que l'on suppose au repos. En cinéma- tique classique, on peut prendre comme origine des vecteurs- vitesses un autre point quelconque A, correspondant à un système (A) regardé comme fixe; les vitesses des autres systèmes sont représentées par les mêmes points. Il eslnaturel d'appeler e5/;ace cinématique l'espace des points-vitesses tels que A; en cinéma- tique classique, l'espace cinématique est l'espace euclidien.

Le principe de relativité correspond à l'hypothèse que C espace cinématique est un espace à courbure constante négative., l'es- pace de Lobalschewski et Bolyai. La valeur du ravon de courbure est la vitesse de la lumière. On peut observer que, dire que l'espace

C; C'est celle première relation <ju'a donnée M. Somnierfeld.

LES DÉPLACEMRNTS IIVPEHnOI.IytlFS A TUOfS <)l ulATnr: DIMENSIONS. 03

ilt's ycoinrtros esl ciiclidieri, cosl duc (luil n y ;i aucune longueur j)iivilégice, iiucuiie uiiilf iihsolue de longueur. Or, \v.s lln-ories |)liv>i(|ues conduiseul à jduicllif <]ii<' li vitesse de la lumière esl une uiiil(' absolue de \ilessc. Il esl donc assez iialtirel <jue la courlmrc île l'espace cin(';niali(iue soil en relalion avec celle unité.

I{. La notion d'espiice cini''Uiati(|ue couduil à repri'-senter [tar un point un syslèine animé dune tiaiislaliou uriilorine et par- uue courbe un sjslème animé d'une Iranslalion variable; on esl ainsi amené à présenter, sous une forme géomélrique 1res simple, la ihéorie des accélérations intrinsèques el par suite la dvnamicjue; mais je me bornerai aujourd'hui à l'élude purement cinématique du mouvement, dans lacjuelle la définilion du lemp^ ninteivienl pas oxplicilemenl ( ' ).

4. Si l'on considère deux points V cl B voisins sur la surlace d'une sphère, il y a une certaine diffîcullé à définir les directions parallèles dans les plans tangenls en A el en B, puisque ces plans ne sont pas eux-mêmes parallèles. On est conduit cependant, si les points A et B sont très voisins, à regarder les tangentes en A et B à l'arc de grand cercle AB el les perpendiculaires à ces tan- gentes comme formant deux systèmes correspondants d'axes rec- tangulaires, par rapport auxquels on peut d('fitiir la correspondance entre les directions en A et les directions en B. Si le point A décrit une courbe fermée ou, |)our plus de netteté, un polygone dont les côtés sont de très petits arcs de grand cercle, on pourra ainsi définir de proche en proche la corres[)ondance entre les directions qui seront dites paralU'les . On sait que, lorsqu'on sera revenu au point de départ, les axes, supposés à charpie instant parallèles aux axes au point voisin, auront en réalité tourné d'un angle égal à la surface du polygone sphérique (le carré du rayon de la sphère étant pris comme unité de surface). Le même phénomène se pro- duit lorsqu'on veut définir les directions des vitesses aux divers points de l'espace cinématique, l^n deux points très voisins A et B, c'est-à-dire dans deux systèmes (A) el (B) dont le mouvement relatif est une translation uniforme de vitesse très faible, on regar- dera comme axes parallèles les trièdres définis par la direction de

( ' ) La considération des triangles pseudo spliériques rectangles, pour lesquels on a cha = z\\b chc, permet de simplifier beaucoup les calculs relatifs au temps propre, nolaniment dans l'élude des mouvements uniformément accélérés.

5.\ riivi". IV. - i.i;s dkim.ackmkms iivi'KuuoLlyi es.

la vitesse rolalivo ol pai" deux plans re(taiii;iilaires conlcnanl celle tlireiiinii. Il siiuMe (jiic ic soil là le seul moNcii, noue un ohscr- valeur lié à un svslèni»» annné tlun nuuiv cnicnl ikmi nniroiinc de consrr\rr lu notion «/r la direclion .

t)ii esl ainsi ei>i!iliiil à la eonstMincnce suis unie : si le noinl- vilcssc tl nu s\slènie ( \) cléeni un coninur Ici nié (^«lue nous sup- posons plan, pour -^iinplilier i. les axes reslés lixcs pour Toljser- \aleiir lié à ( \ > -c tinii\(M)l, pour un ohservalcnr donl la vitesse a él«' toujours éjj;ale à la vilessc iniliiih^ cl finale de ( \ ), avoir loiirnt' d un aiii^Ic »''i;al à I :iire du contoiii-. (aM cHcl du second ordiH" pourrait se déduire de la conlraclion de Lorcnl/ à hupielle la nolion d'espace cinémali(pie est équivaleiile : il re\ieiil à ceci : un syslèmc que les obset^atrnrs liés au s)slènie croient con- stamment en translation peut paraître animé d'un mouvement (Je rotation éf des observateurs extérieurs.

Cet ellel ne sera, Itien entendu, sensilile (pu- |»our des inoiivc- nienls j)t''riodi(pics très rapides. Prenons comme unilc de lonj;iieur le ccnliinclrc. lunité de leinps étant telle (pie la \ilesse de la lumière soit égale à I unité, cl considérons un mouvemeni défini parles équations x = A costo^, T 1= A sinto/. Les vitesses sont de Tordre de Aw et leurs carrés de Tordre de A-to-; tel est Tordre de grandeur de Tangle de rotation pour une période; la vitesse angu- laire, c'est-à-diie Tani;lc de rolalion par unilé de temps, sera de Tonlie de A-(o-'. Tour les vibrations lumineuses, to est de Tordre de 10' (puisfpie. avec nos unités, les périodes sont égales aux lon- gueurs (Tonde); même avec des élongalions A très petites, de Tordre de 10"'-, on obtient une vitesse angulaire to"", c'esl-à-dire 00 tours par seconde ( ').

Dans Thvpothèse moléculaire, il n y a pas lieu de se préoccuper de la théorie de la rotation du corps solide, mais seulement des mouvements des particules qui le composent. Il est assez curieux (Tfjliserver (pie la théorie de la relativité entraîne la consé(|uence (|uc les mouvements de rotation (pu apparaissent aux observateurs au lepos peuNent être expli(piés par des hypothèses dans lescpielles les moiivemenls inirinsè(jues seraient cxclusi\ement des mouve- ments de translation.

(•/ Dans ces calculs approximatifs, on a négligé les facteurs tels que •—.

ClIAmUE V.

FONCTIONS D'UN TUKS (IK \M) NOMIUIK DK VAIUABLKS : AIRKS ET VOLUMES KN GKOMÉTUIK A lo^* DIMENSIONS.

Les progrès récenls des Sciences [)l»vsi(|iies oui nionlré le nMe croissant (|iic lend à jouer en IMiysique niatlH'inati(|ne l'élude du discontinu : à côté des fonctions qu'on rencontre dans le Calcul fonclionnel, fonctions de lignes, de surfaces ou de volumes, il est utile de s'occuper de fonctions d'une autre catégorie, celles qui dépendent d'un nombre très graïul de variables indépendantes, ce nombre restant tout de même fini. Nous nous bornerons aux plus simples de ces fonctions, c'est-à-dire aux fonctions algébriques, limitées même aux deux premiers degrés, et parmi leurs pro|)riétés, nous cbercherons à mettre en évidence celles (jiii tiennent au fait même que le nombre des variables est très grand. Dans ces condi- tions, il y aura avantage à donner à cette étude un caractère géo- métrique; nous étudierons certaines propriétés des êtres géomé- triques les plus simples d'un espace à m dimensions; comme il importe avant tout de fixer les idées sur le sens que nous nous proposons de donner ici à l'expression « nombre très grand de variables», nous prendrons m de l'ordre de lo-"' : c'est à ce nombre ou à des nondires voisins f|ue conduisent les évaluations du nombre des molécules et du nombre des j)aramèlres dont elles dépendent. [Voir, par exemple, Jea> Peuivik, Les atomes] I^aris, Alcan, 1913.)

Un point de l'espace (E) sera un système de valeurs données aux variables t,, :ro, ..., jr,„, et la géométrie de cet espace sera 1 étude de l'ensemble des transformations qui laissent invariable une forme quadratique fondamentale donnée

relative à deux points (pieleoiupies {x)^{y). Nous prendrons ici la

56 ciiAiMTnE V.

forint' la plus simpl»', ol nous choisirons la gtoniclne niétnquo cuolidiennc. la dislance de deux points A(:r) elB(>') étant définie par I iMiualii^n

Si ALr), B()"), G(3) sont trois points donnés, nous avons

BC' = ÂÏÏ' -1- ÂG ' — > A n . AG cos A, en posant

cos A =

AB.AC

ft les déplacements déduis comme conservant les dislances, con- serveront aussi les ani;Ies. Il n'y a pas lieu de s'étendre ici sur l'expression générale et sur l'élndi' des |)ro|niétés des déplace- ments; cela n'ajouterait que |)cu de chose aux résultats obtenus dans les Chapitres précédents pour les géométries, euclidiennes ou hyperboliques, à deux, trois ou quatre dimensions.

Multiplicités linéaires. — Deux points A (^), B(j') définissent une ilroite : cette droite est le lieu des points C(v) tels qu'on ait symboliquement

z = X -\-\{y — J-),

y trois points A(x), B(v), C(j) définissent une mulliph'cité linéaire à deux paramètres, qui est constituée par Tensemble des points D(m) tels que

Il = X -^\i y — x) -\- \i.( z — x) -r. . .;

et d "une manière générale, K. points définissent une multiplicité linéaire à K — i paramètres, cette définition étant valable pour toutes les valeurs de R comprises entre 2 et m.

Il y a intérêt, au point de vue de la géométrie métrique, à définir des distances de points et de multiplicités linéaires. Soit A un point fixé, et (M) une multiplicité linéaire; on appellera distance du point A à la multiplicité M le minimum de la distance AP, Pétant un point de la multiplicité (M ).

De même, si (M) et (M') sont deux multiplicités linéaires à moins de m — i paramètres, on pourra définir la dislance de (M)

FONCTIONS I) LN THKS (iRAM) NO.MBHK DK \ AlUABUr.S.

■>7

à (M') comme la plus couiIl' diskince (liiii point de M À un jjoiiil de M'.

Ces définiliùiis sont des extensions de celles de la dislance tl'iin point à une droite ou à un plan, et de la j)lus courte dislance de deux droites. Nous allons voii-, en étudiant un ou deux exemples très simples, (|u'elles conduisent toujours à un nombre unicpie qu'on peut, au surplus, calculer facilement.

Distance de l'origine à une droite. — Soit à chercher le mi- nimum 0- de rexpressiou

,î V - -

/ — - ( T

OÙ

=, = Xi-^ Ufi—Xi) = a-,H- [xyi ; nous pouNons écrire

et la condition — -j — =^ o donne immédiatement d'x

^yiiTi-^ ixyi) = o.

Cette relation permet de transformer la relation (pii donne o- et d'écrire

2ar'-4- [x'Lxifi — p-= o.

f/élimination de <j. donne alors

d'où

:ùXiyi I.xJ — p ô-^7,-= I.x}I.yJ—[I.x,yi]\

Dislance de f origine à une multiplicité à trois dimensions. ■ 11 s'agit ici de chercher le minimum 5- de l'expression

ou l on a

t, = Xi -+- Xy, -+- a ::/ -f- v u,.

, ,. . ''0 OO ÔZ I 11-

IjCs conditions -^ = o, -^=:o, -i- = o donnent les relations

OK ' O-x ' à^

. i:^)-,fx,-+- \yi-^ \XZi-r- VM, j = o,

(i; ' "L Zilxi^Xyi-^- ixzi-^-iUi] = o.

( i^ l'i [ -Ti ^ ly, — [X Z,-i-yUi\=0,

58 ( Il M'iriu: \ .

ijiii [XTiiu'Urnl (rt'criie

( i "^ - r, \ .1-, -r- Ky, -+- [ji c, -f- V //,] — ;- = o,

t'ii vcrlii ilii lliroiviuo d lùilcr sur les linu'lioiis liomoj^riios. l/éli- mlnation des paramètres A, u, v onlr«î les é(|ualions(i) et (2) donne la relation sinxaiitc :

(3)

V ~ . y, .

— "ijl

V -2

ce qui permet d'avoir 0- coiumc (|ii()lient de deux dclerminants.

Des simplilications notables s'introduisent dans la formule (3) si tout ou partie des termes rectangles s'annulent.

Il est naturel de s'occuper d'abord des multiplicités algébriques du premier et du second degré. Dans le cas d'un nombre très con- sidérable de dimensions, on est presque contraint de ne pas aller plus loin, et cela pour deux raisons : d'abord on ne voit pas actuel- lement à quoi pourrait servir une étude des surfaces de degré su- périeur dans cet espace à m dimensions. Ensuite il convient de bien lemarquer qu en hjpergéomélrie, lorsque le nombre des dimensions devient notable, les combinaisons des variables autres que celles des deux premiers degrés sont tout à fait inextricables. On n'a pas grand secours à espérer, en effet, des transformations homographiques; si par exemple on remarque que les surfaces du troisième degré dans l'espace à m dimensions déjjendenl de

6 A/? -i- I I )

paramètres,

et la transformation homograpliique la plus générale du même espace dépend seulement de m- + 2 m paramètres, on peut ramener ces surfaces à des tjpes dépendant encore de

(3

para mètres.

Dans le plan, on a ainsi des cubiques types à 1 paramètre, mais déjà pour /n = 4» O" ^ t^es surfaces dépendant de i5 paramètres, et pour m très grand on voit rpi'on n'a pas vraiment de simplifl-

FONCTIONS d'un TRÈS GRAM» NOMBRK I)K VARIABLKS. Sg

calion appréfialjle à tirer •! une Iraiisfonriiilioii liorno{^raplii<juo. Nous éliidierons il iiup iii.mit'Tt; plus parliculière la splu-rc et I cllip^oKle (latis I espace à /// iliiin'nsi()ii><.

Splirrr. — La s|)lirie de rayon II ayant pour (cnlrc l'origine des coordonnées est représrnlée |>ar Técpialion

x| -T- arî -+- r| -i- . . . + xj„ = RV

I ulutni- de la sjjlière. — Nous définirons le volume comme

/ I ' ' ' f (^-^i ^-^2 (^^3 • • • ^-L'ini

étant l'intégrale

pour le domaine défini par riné-^Mlih'

IV- — t'\ — x\ — ... — y;, > o,

l*our évaluer ce volume, nous effectuerons un cliangenienl de variables classique

X\ = p COSÇi.

o-j = p sin csj cosœo, 0-3= p sino, sin'j.2 coscs,,

x,„-i = p sin'^i sin-i, . . . sins,,,-, coscp,„_,, Xm= p sin-fi -in'j., . . . sincp„,_2 sin o,„-i avec

o < p < R, o< 'fi <-, 1

o < 'f,„_î< -, o < Ç'/„-l< 2Z.

On calcule aisément le jacobicn

, _ l'i-r,. .r,. . . .,x,„i ^

6o

ciimmthk V.

On a

— — j-| tangçi o o

— rjcotoi — T. tan su* o

0 ^ - - .

OU encore

^ — jr,n cotçi -+- .r,„ col 0-2

I — tangft f» o o

I cotoi — langoij o

x„, cot9,„_|

J =

I COtÇi col (^2 I COlOi

cotcp,„_î — tangtf,„_, COt!p,„-o cotcp,,,-,

et, après une Iransformalioii simple (on ajoute à la seconde colonne la première multipliée par tangcs,, à la troisième la première multi- pliée par tang'jo» etc.),

Xi X-2 ■ ■ ■ X „,

(4) J = -^

psinO|Cosoi...sincp,„_iCOso,„_i de sorte qu'on a

p'"-» sin"'--'^i sin"'-'ç2---sino,„.2,

Rm

= •> t: J 1 Jî . . . J ,„— 2.

ni

-' sincp'/' " sin'i'j" ^ ...sin!p„,_î c^p <i-^i doi...do,„-i

en posant

/, = ^ sin

^0^0.

On établit immédiatement, au moyen de l'intégration par parties, la formule de récurrence

/.J/,:= (/>■ — 1;Ja_î,

et l'on en déduit les expressions des intégrales J. qui sont difïé- rentes suivant la parité de k.

On a

1 . 3 . . . 9, /> — I 2 . 4 . 6 . . . V. /?

V. . 4 . G . . . ■>. /'

.i.'j. . .-ip — i

FONCTIONS d'un TRÈS GRWr) NOMBRK I>i: VARtABI.KS. fil

el. par conséquent,

(5) ' "

(>„.-, 1,,. ^-y

D où les expressions suivanles pour V

(6)

^ V = — ^ (si m = 9./) H

y i p -^ l \ .5.J. . .ip — I

f > — ; — (si m = >p)-

\ p.

Il est curieiiY (jue l'expression du volume de la sphère soit ainsi de deux formes dillérenles suivant la parité du nombre de dimensions de l'espace que l'on considère. Nous allons voir qu'on peut ce|)endanl, en introduisant la fonction F, obtenir une expression unujue pour ce volume.

Nous rappellerons les [)ropriétés de l'intégrale eulérienne dont nous allons faire usage.

On a, par définition,

(7) i^(p)^ f

e--r xi'-^ dx.

Une intégration par parties donne immédiatement

(8) r(p) = (p-x)T{p-x),

d'où, SX p est un nombre entier,

(9) T(p) = (p — x)\

La formule (8) permet de restreindre à un intervalle d'ampli- tude égale à l'unité l'étude de la fonction r(/o), et la formule (9) donne la valeur de 1 (/?) lorsque/? est entier. Nous allons chercher une expression de I (/?) pour p ^:^ cj -\- -> q étant entier. Pour cela.

I i. il est nécessaire de calculer d'abord

i^y

Or. a

e -^ dx

•i =r

~:=- — '

fil niAlMTUK V.

el si Vou pose .r = v-, il vicnl

r(i)=,f <--.0-.

Mais on peul écrire

cl finalciuenl nous oblenons

On tlt''(hiil de là, en vertu de la formule (8),

et en niullipliant membre à membre il vient

. . „/r \ \.>...').p — i- (•o) ^U-^^j = ^ V/-,

p étant entier.

Kn vertu des formules (g) et (lo), on voit que les deux for- mules ((3) peuvent être réunies en une seule ( ')

(••)

V„.-

[rR2]^

Ijicn entendu, celle formule (i i j coniiciiL toujours une puissance

(') Celle fornaiile unique peul élrc obtenue dircclemenl, nriais par une voie moins clémcnlaire que relie que nous avons suivie. Voir, par exemple, flans le Cours d'Analyse de M. Jordan, l. II, le calcul des intégrales de Diiiclilcl.

FONCTIONS ll'lN THi;S (iKANIt NOMIII«i: llK VAltlAlU.KS. 63

cnliôre <lf — en f;iiMi'iii-. ( ".;ii' loi S(|ih; /// csl impair. ItHacleur ^7— fi{,'ure iiii i]»'nniiiiiiiilfiir T ( -; *" ' ) •

Si nous comparons iiuiiiileiiaiil \c volume \ inhrifiir à l;i s|)lit"i(.' (S) au volume [ liiniti- au domaine

— R < x„, < -+- R ,

*nii joue ici le nMo ilii volume du cuhe circonscrit à la sphère, nous

avons

U = (2R)"'

el nous pouvons t'-ciire

' ^(t-'}

soit pour m = •ij)

- j' \

U " ^J p\

(piaiitité excessivement petite «tant donné Tordre de grandeur de /> dans la géométrie (pie nous étudions.

Ce résultat montre combien notre imagination est incapable de se représenter cette S[)lière de Tespace à un nombre très grand de dimensions, (pu iemj)lit une fraction infiniment petite du vobime du « cube » circonscrit. Nous aurons par la suite l'occasion de faire certaines remarques analogues, qui nous permettront d'étutlier de plus près la configuration en apparence étrange de cette sphère f S).

Surface de la sphère. — Fin ce qui concerne la surface S de la

1 . I I 'i^ • I • ' (i^

s|)lieie, nous |)Ou\ons la (.leiinir comme la (pianlite -tt-j ce qui nous

donne immédiatement I expression sunante :

m

en ulilisaiit la lormiile

'■(t-)-t''(t)

6.i rHAI'ITRK V.

Mais celle dëlinilioii possède 1 inconvénienl de ne pouvoir s'appli- «liier (|u'à la split-rc. On pcnl définir dans l'espaco Tiure d'une por- lion de surface comme I inléiri'ide doiiMe

r r<ixdv

' . ' CI «s Y

V élanl l'angle de la normale à la surface, convenahltMnonl dirigée, avec Or. El pour l'aire de la sphère on a

fl

^ H à.r (/y

élenduc à loute la sphère. C'est celle dernière Ibrmule (jue nous généraliserons; et si nous prenons pour définition de l'aire de la sphère de ravon R dans l'espace à m dimensions l'intégrale mul- tiple

pour le domaine défini par les inégalités

R- — x] — . . .— Xjn_ , > o

et avec

= v/R^---i--.

Un changement de variables tout pareil à celui que nous avons appliqué à l'évaluation du volume V donne

S = 9.7: R'" ' / / • • • / sin"'"2 'fl . . . sintp,„_2 dox f/cpj . . . <5?9,„_2.

Aire d' une zone et volume cV un segment sphévique. — Si nous cherchons l'aire de la zone sphérique comprise entre les plans x, = o. .r, = a, nous sonimes conduits à la formule

S| = 2-K"'-i / sin'«-2'i, (^'i, / siiT^-^œ, rf'jj.. . / sinï

do,

,„_2 MW„,_2

FONCTIONS n'i N TI«ÈS (iRAM) NO.MUKK DR VAHIABI.KS. 65

S

et le riippoil «If raii«' S, ;'i rairc '- est. (jac suite, •■^mI ;'i

/ sin'" - 'i i/': \i -'a

I siii'" -9</^ • 0

Le iiomhrc m — ■>. est it i de l'ordre de f:,randeiir de lo-'. La fonetion >in"'^-'J, égaie à l'iiiiilt' poiii -ç, ^ -. décroît très rapide- ment <|uaiul C5 ilécroll. Llle devient excessivement petite dès (pie la dilférence — — .5 atteint <pi(l(jiies millièmes. Cette remar(|Ue permet de prévoir que. si nous prenons 0 très \oisin de-» c est- à-dire pour champ d'inl('|;ration de B une fraction très faible de A, rintcgrale B ponna représenter une fraction très notable de l'inté- grale A.

l*our préciser davajil.i;;e, introduisons la \ariable

COSO = X.

Nous pourrons alors écriic

a '"-^

1; = / (I — X-) ' (Ix avec a = cosO.

Remplaçons

(1 — x'^) ' |>ar e '

et, pour X très petit, L(i — x-) par sa partie principale — x-. jNous obtenons pour B la valeur très approchée

/ m — .i

\/ a

^a _i:L^.,. / — - — r\ *

B,= / e ' rfj: = l/ / e-"'- du.

Jo V "' — ' -'0

Quant à l'intégrale A, on sait la calculer; remplaçons-la par Texpression suivante :

A,= ,

y/ •/ ( //< — i

B.

6G ciivi'iTiii: V.

qui peut cire considrrée roiimu' une valeur asvniptolique de A.

pour m 1res grand.

I . Ri • j . 111 B

Le rapport — > (pie nous eonsidererons u la place du rapport —,

peut se niellre st>us la forme

(\i) —!. = -—_/ e-"' <Ù4 avec ft = ai/

l/e\pre>sion (,i->. j. qu'on renc'ontre livipiemnienl dans le calcul des probabilités, porte le nom de /"o//c/fo// W([j). DesTableaux ont été construits, donnant les \aleiirs de celle lonclioii (' ).

On a

e(cc) = i.

Cela posé, pour nous faire unç idée de la rapidité avec la(pielle B| tend vers A,, ou B vers A, prenons par exemple

\

1

1 = 4.IO-12,

ce qui corres|)ond à un cli;niip diuléyration excessiveménl petit pour B, nous avons

^ = 4 et e(P) = o, 999999985.

Nous aboutissons donc à cette conclusion que l'aire d'une zone sphérique, dans l'espace à lo-'' dimensions, est égale à io~^ près à l'aire totale de la sphère, dès que l'épaisseur de la zone

atteint une fraction du diamètre de la sphère égale à — — •

Sur cette zone, on peut répéter le même raisonnement : l'aire du domaine défini par les inégalités

est encore la presque totalité de l'aire sphérique. El enfin on j^eul aisément déterminer des quantités t très petites, mais telles cepen-

(') Voir, par exemple, le Calcul des probabilités, par J. Bertrand (Gaulliier- Villars), ou les Éléments de la Théorie des probabilités, par lîmile Borel ( Hermaon).

FONCTIONS DIX TUKS (;»\Ml NoMBUK HK V AUl Vni.KS. 67

(hiMl (111 Cil ilcl;i(li;iiil ili' I iiirc >|»licil(| ne Idiis Ic> pniiils ne salis- iaisaiil pas aux int''<;alil<''s Ifllcs tjiir (^ i .5 j a|)|)lifjU(''os aux /// coor- donnt'es, on conserve une |)oilion i-xtrènieinent consicU-ialtlc de l'aire totale, i.t.' même i('sultat est évideniinenl \rai |)oiir lf;s \(»lunjes, et peut s'(Hal)Iir par une analyse toiil à fait paieille. Ceci nous montre encore conihien notre intuition géométrique est insul'lisante pour nous représenter les faits d'un domaine à un nombre considérable de dimensions.

Les calculs qui précèilenl sont dune grande utilité dans l'étude des principes de la théorie cinétique des gaz : nous renvoyons le lecteur à la \ote 1.

L'/lipsoïc/e. — Du volume de la S|dicre (S) représentée par l'équation

X : ~!- X^ -H . . . -r- Xîf, = I\-,

dont l'expression est

_ -' R"'

on déduit aisément celui de l'ellipsoïde

a^ x] -+- a-, XT, -i-. . .-h a}„ xj„ = i

au moyen du cliangement de \ariables

.l'i

_ y

^ in ■^/n — T

On a alors

V' =

«la., . . . >i„, r / I — _ j

Nous allons reprendre ce dernier calcul par une autre méthode, (pii nous conduira à faire certaines remarques intéressantes. Prenons 1 ellipsoïde [{']) représentée par l'équation suivante :

(i) a^x] -+- . . .-^ aj,xf,^ blrJ,^^-^. . .-h b}fXf,^,f= i avec m = p -h q.

08 cuAi'iiiu; V.

Nmis avons

. <iiJ'\- ••/'-/•"('

/' - '/ \

Considt'rons le tloinaiiic ;• ij (liiii('n>it)ns délerminé clans I ellip- soïde ( E) par les poinls salisfaisant à rt-cpialion

( -2 ) «î .r j -H . . . -+- rt/,.r/, = À,

où A esl compris entre o et i . Oi) aura alors

Le volume à/? dimensions de rellipsoïcie représenlé par lécpia- lion (2) esl égal à

(4) V).=

r

I -A V-

OiU-, . . .<lf,V { \ -r- - j

et le vi.lunif \ [_) de lellipsoùle (3) est égal à

7 ~( I — À il-

Cela posé, il résulte d'une remarque classique dans la théorie des intégrales multiples qu'on a le droit d'écrire

(5) v=/ v;_>yv>,= / vi_-^^.

Mais il résulte de la formule (4) qu on a

ce qui montre que

: - A- {\ — \)- (T/.

FONCTIONS o'iN THKS (iltAMl NOMBIU: l»K vvitlMILKS. 69

Si nous comparons les «leiix <'X[)rpssloii> de \ p^,,, nous voyons (ju'oii peut en d/'duiro, pour les valeurs enli«'res de: p et y, un»; for- niiilt,* elit-.Mipif clf l.i lin'orif dts iiiit''i;tid«'s rid<''r n-iines,

n IL, ,^l)=AllJl -il,

l;i(piclle csl \raie (pi(d> cpie soicnl p el y. <'l s't'crit t;énéraiement

Via)r(b)^ Via -^h)\i(a, ù), où

B(n,bj= I x'^-Ui — x)'>'^ dx.

La formule (j^ aurail donc pu se déduire de la lliéorie des inlé- grales eulériennes. Proposons-nous de voir dans quelle région de l'intervalle de variation o à i de X se trouvent les valeurs de ). donnant les parties les j)lus notables de l'intégrale (5).

Nous sommes ainsi conduits à rechercher la région du champ dintégiation donnant les plus grandes parties de l'intégrale

I = Bfa + i, 3-Hi) = f l^(\ — l)?cfK,

Cf. et |3 étant tous deux des nombres de Tordre de .")X">"'- La région cherchée est le voisinage du maximuui de la fonction

iji = Xa{l — À)?.

Nous avons, en prenant la di'-rivée logarithmique,

Ji _ ^ _ ?

IJL "" >. I — X '

Et la valeur- /.,„ cherchée est égale à alors

:o ciiAi'iTni: \.

Cela posé, nous iilloiis inouhor (jiio le ra|)[)t)rl

, À,

^7)

/*(! —A )?</>>

est très petit lorscpic 1 intorviille Ao>'i ne conlienl pns la \alt'ur A,„ qui correspond au niaxiinuin de la fonction sotis le sij;ne / ; ou, ce qui revient au même, (jiie rint('trrale

^ >.„. -^ :

I X* (I — À )? cÛ.

'■ '^■n.— t

est très \oisine de linléyralo totale, £ étant cependant un nombre extrêmement petit.

Prenons pour variable d"int(''i;r<ilion la (piantité u. définie par les

équations

!a — 'i. a — 'i j — u y. -*- j

Nous voyons que l'expression

F(l) = 1=^(1 — 1)?

peut se mettre sous la forme

(9) F(/,) = A*i |a),

en posant

A = À';,(i-À,„)3

Nous pouvons mettre <I>( 'j-i sous la forme

^( IX) = e * \ iV

et, en négligeant dans le dé-veloppemenl en série les termes qui contiennent a- ou |j- en dénominateur, nous avons pour <I>(u) la

FONCTIONS i) I N nus (.11 \M) NoMBiti; iii; \ Mil Aiti.cs. 71

Viiloiir Irrs ii|)|)r()(licc

( 10 ) 'l'i* [J.) = e

,-ïa'i)

(M)

/v'\ ^iV

Il V a ;i\iinl:igo encore ici ;'i conduire le calcul sous une lornic Iré- (luenHuent usili'-c diins le calcul des prohahilités.

I^'intégraledu dénoniinateuresllrès voisine de / e -V* ^/(/[i

que nous savons calculer el dont la valeur est

v' 1 ■

Le ra|j[)Oil (II) s'éciit alors en j)0sani

Vil^"'^)^"-

lù linaieinenl nous vovons (juc, 1res approximativement, le

rapport

V ... e{«,) — <èiu») — esl e^sn a •

Re[)renons maintenant la |)orlion centrale

Cr>i / X«(i — À;? r/X.

Son rapport au \(dunH' total s'('-crit. tKaprès ce ([ui |)récrde,

en posant

£ = —

-? (MAP. ^. — FONrTiONS n in tuks crvnd nombuk nr variviiles.

On |>eiil par siiile se rciiHro aiséinoiil comple qiTen prenant z cxlrèinemenl pelit, on pcul obtenir pour le rapport S[i{) une Aaleur très voisine de l'iinilé. \ oici un exemple numérique : la fonction 0(«) est voisine de i à moins de io~'« près dès que u atteint la valeur lo; or, à ii = \o eorre^pond, en prenant pour a et |3 des nombres de l'ordre de lo'-*.

i

e = - lo

In inlervalle fort leslrciiil du champ d'intégration de A donne done la prescjuc totalité du volume de l'ellipsoïde (i). ('.e résultat permet de mettre sous la forme d'une proposition de géométrie le théorème de l'équiparlition de l'énergie qui joue un rôle si impor- tant dans les théories physiques actuelles.

J)'une manière plus générale, il ne paraît pas douteux que l'em- ploi du langage et du raisonnement gc'ométrique [)eut être très utile dans les recherches de Mécani(pie statistique, relatives aux systèmes d'un nombre très considérable de particules dont les vitesses, ou d'autres grandeurs physiques, sont réparties d'après les lois du hasard.

NOTE 1.

SCH LES l'RINCII'KS I)K lA TIIKOHIK CINKTIQIK I>ES GAZ P J.

La iliiHnie cinétique des i^az et ses applications et extensions diverses sont encore loin d'être acceptées sans difficulté par tous. En particulier, les applications du calcul des probabilités aux calculs statistiques concernant les molécules excitent beaucoup de défiance chez certains esprits. Bien peu sans doute en sont restés à la boutade de Joseph Bertrand, disant que ces problèmes de probabilité res- semblent au problème célèbre de i'àge du capitaine, qu'on propose de déterminer, connaissant la hauteur du grand mât. Mais, sans aller jusque-là, on doit reconnaître que Ténoncé même des problèmes manque souvent de précision el que les déductions par lesquelles on arrive à la solution manquent parfois de rigueur.

En faisant celle constatation, je tiens à dire qu'elle ne diminue en aucune manière mon admiration pour les créateurs de la théorie. La route était difficile et ils ont eu raison de ne point s'attarder aux pre- miers obstacles; le [)lus pressé était d'arriver à des résultats suscep- tibles de vérification expérimentale; ces résultats sont un encourage- ment à persévérer dans la voie ouverte par Maxwell.

Mais celte vérification en quelque sorte a posteriori ne satisfait pas tous les esprits et il ne me paraît pas inutile de reprendre les principes de celte théorie cinétique pour chercher à lui donner une base rigou- reuse au point de vue mathématique.

Cette tentative n'a pas grand intérêt pour les adeptes convaincus; ils vont de l'avant avec succès; ils perdraient leur temps en retournant en arrière, et je serai le premier à le leur déconseiller.

Aussi c'est à ceux qui jusqu'ici ont |)1ms ou moins partagé sur la théorie cinétique des gaz l'opinion de Joseph Bertrand que je voudrais m'adresser. Leurs scrupules sont légitimes à certains égards : on ne peut reprocher à un mathématicien son amour de la rigueur; mais il ne me paraît pas impossible de les satisfaire.

(') Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, (3), t. XXIII, 1906. Kn réimprimant celte Note qui date de 1906, on n'a pas cru devoir en modifier le texte; voir la Note II, cirilc plus récemment, notamment page q'i.

7-î NOTK I.

Tel est le hiil des pages qui suivent : elles ne font faire aucun pro- grès réel à la ihéoiie, au point de vue du phvsicien ; mais elles auront peut-être pour résultat de convaiucre quelques mathématiciens de son intérêt et, en augmentant le nombre des chercheurs, contribueront peut-être indirectement à son développement. S'il en est ainsi, elles n'auront pas été inutiles, indépendamment de l'intérêt esthétique qui s'attache à toute construction logique.

Il me paraît d'abord nécessaire de préciser la notion tnême de pro- babilité, qui joue un si grand rôle dans la théorie cinétique. Dans ce but, je vais étudier avec quelque détail un problème simple de proba- bilités; je m'excuse d'avance de la longueur de ces préliminaires : ils m'ont paru indispensables à la clarté.

Considérons un cercle C sur lequel est mar(|ué un point fixe O; à chaque petite planète nous faisons correspondre un point P, qui se meut sur le cercle C suivant la loi suivante : lorsque la petite planète passe en un point déterminé ( ' ) A de son orbite, le point qui la repré- sente passe en O ; il se meut sur le cercle d'un mouvement uniforme dans le sens positif.

Nous avons ainsi sur le cercle C des points P qui se meuvent tous dans le même sens et dont le nombre n est égal au nombre des petites planètes actuellement connues (-). Soient G| et C.2 les deux demi-cir- conférences séparées par le diamètre de G qui passe en O; nous nous posons la question suivante :

Problème A. — Que/le esl la probabilité pour fju'aii x''"" janvier pro- chain tous les points P soient sur le demi-cercle C, '?

Xous devons nous poser une question préalable : l'énoncé du pro- blème .\ a-t-il un sens (')'.' Il est clair que, si nous possédons un

C) Nous laissons de côté les difficultés reiiHivcs à la lix;ilion du point A; elles sont de même nature que celles qui sont examinées plus loin. Pour fixer les idées, on peut imaginer un demi-plan fixe passant par le centre du Soleil et coupant chaque orbite en un seul point, qui sera le point A.

{-) Le problème se poserait sous une forme un peu différente si Ion faisait intervenir aussi les petites planètes qui seront découvertes d'ici au i" janvier 1920, par exemple, ou encore toutes les petites planètes à découvrir.

(^) Vfnr dans Poinc.\rk, La Science et l' Hypothèse, le Chapitre sur le calcul des probabilités. Je ne puis citer à chaque instant ces pages suggestives, dont la lecture m'a été fort utile. Sur plusieurs points, d'ailleurs, j'adopte un point de vue très diffcront de celui de .M. l'oincaré.

SIH I.KS l'RINCIPKS I)i; I, V IIIKOIIIK «;i.NKTIV.>l K DKS GAZ. 73

amiujiiif (l<.im;iiil t;llV'tli\ ciueiil les longitudes des peliles [ilanètes à ré|»0(|ue iiulii|iiée, nous ^aurons si les jjoinls I* sont ou ne sont pas sur le demi-cercle C, ; si nous constatons, par exemple, (|u'ils n'y sont pas tous, nous devrons dire tjue la probabilité est égale à ;:t'ro; s'ils y étaient tous, elle serait égale ;i //«, et ce sont les deux seules hypothèses possibles. Ain>i considéré, le problème n"a guère d'intérêt, et son énoncé ol peu correct, car il n'est guère raisonnable de parler de probabilités lors(|u'on possède la certitude.

Mais on peut se placer à un point de vue difTéient et poser le pro- blème A sans donner aiu une donnée numérique relative aux petites planètes. On sait seulement (|uel est leur nombre et f(ue les durées de leurs révolutions sont toutes dillérentes entre elles, bien f|ue com- prises entre des limites assez rapprochées. Dans ces conditions, le problème A doit-il être regardé comme avant un sens? Il ne me semble pas ; ce n'e^t qu'en vertu d'une cotnention qu'on pourra lui eu donner un. l'ne probabilité, en effet, est une quantité d'une nature particulière, qui ne peut être exprimée qu'au moyen de quantités de même nature préalablement connues. Lorsqu'on demande quelle est la probabilité d'un coup de dés déterminé, on fait l'hypothèse que, pour chaque dé, la probabilité de chaque face est la même et que les divers dés sont indépendant^. Un pourrait être amené, par analogie, à conjpléter l'énoncé du problème A en ajoutant : i° que, pour chaque point P, la probabilité d'être sur C, est égale à la probabilité d'être sur C^ : 2° que les probabilités relatives aux divers points P sont indépendantes. Or, si la première convention paraîtra sans doute naturelle à tous, la seconde paraîtra arbitraire à beaucoup. En adoptant ces conventions,

la solution du problême A est visiblement — C'est à ce même résultat

que nous aboutirons par une autre voie, ce qui montrera l'équivalence de la convention que nous adopterons avec les précédentes, en ce qui conceine le problème A.

Etudions iiuparavant une forme un peu diflTérente de ce problème.

Problème A'. — Dans l'énonce du [iroblème A, on remplace répofjue du \''^ jamier prochain par une époque antérieure {ou postérieure) de 1000 ans.

Cet énoncé est moins fictif (|ue X, car les positions des petites pla- nètes il y a 1000 ans (ou dans 1000 ans) sont moins bien connues que les positions actuelles; on conçoit donc qu'il soil plus naturel de se poser à leur égard une question de probabilités : deux astronomes pourraient vouloir engager un pari sur la question ([ui fait l'objet de

7^ NOTF I.

renoncé A'; ils feraienl ensuite les calculs nécessaires pour pouvoir régler ce pari.

Mais la diirérence essentielle entre A et A', c'est que, pour A, nous sommes oi)ligés ou de supposer une connaissance complète de la situation des petites planètes, ce qui supprime le problème, ou de supposer une ignorance complète, ce qui exige une convention supplé- mentaire en partie arbitraire. Au contraire, pour A', nous pouV(»ns supposer connus les éléments actuels des petites planètes et demander que l'on réponde sans faire les calculs qui donneraient leurs longitudes dari> looo ans (ou il y a mille ans). Toutefois cette dilTérence est plus apparente que réelle, car on pourrait concevoir un calculateur assez habile poui-, à la seule inspectir)n îles éléments actuels, calculer les éléments à l'époque indiquée dans Fénoncé de A' ; pour ce calculateur, A' ne dilïére pas de A.

i\ous sommes ainsi conduits à envisager le problème suivant :

Problème B. — (Juclle est la prohabUiié pour que les points P soient tous sur C, à une époque t comprise dans un inten'alle do/iné de 2000 ans, par exemple entre le i"" janvier 920 et le i^'' Jan- vier 2920; cette époque t sera déterminée par le sort, de telle manière qu'il y ait des probabilités égales à ce que t soit compris dans deux intervalles de temps égaux quelconques.

Si nous écartons d'abord l'hypothèse où nous aurions le temps de faire tous les calculs nécessaires à la solution exacte de ce problème B> nous apercevons cependant des cas où la réponse à donner ne sera

pas — • Si, par exemple, deux petites planètes ont actuellement (')

des moyens mouvements égaux et des longitudes difléiant de 180°, il est clair que les points I^ correspondants ne seront jamais simultanément sur Cl ; la probabilité demandée est donc zéro. Si, au contraire, deux petites planètes ont des moyens mouvements égaux et des longitudes égales, pour que l'une soit sur C,, il faut et il suffit que l'autre y soit; tout se passe donc comme s'il y avait une petite planète de moins, ce

qui conduit à répondre au lieu de — •

' 1 .,«-1 .,/(

Mais la léponse à faire au problème B pourra être bien différente si l'on fait effectivement le calcul des positions des points J* dans

(') Eii lau. il n'existe pas actuellement deux telles |)Ctiles planètes; maison peut en ilécouvrir demain, ce qui suffit à mon raisonnement. On ne peut, en effet, répondre : cela est peu probable, comme on le ferait si nous discutions le pro- blème A; nous supposons ici que Ion sait effectivement ce <jui est.

sru i,i:s pHiNcii'Ks i)i: i.v iiikouii; < i.m;t1(.ilk i»ks (;az. 77

riiilt'ivalle domu'. Il arrivera peul-èlre (') <|iie, dans un intervalle de lenips déterminé, de >5 j3 secondes par exemple, les points I' seront tous sur Ci; si l'on dé«.it^ne par \ le nonihre de secondes contenu dans Tinlervalle de temps de 2000 ans visé dans l'énoncé, la réponse

est visiblement —^ j car telle est la probabilité pour que l'époque /

soit comprise dans l'intervalle favorable.

Si Ton se plaçait à un point de vue puiemenl abstrait, on serait conduit à iiénéraliser ain->i renoncé 15 :

l*HOULt>iE B'. — On considère un certain nombre de points Q qui se nieui'ent sur un nié/ne cercle d'un niourenienl uniforme : connais- sant e.ractement les positions initiales et tes vitesses, calculer la probabilité pour (]ue ces points soient tous sur un arc donné à une époque t choisie arbitrairement dans un intervalle donné {a, b).

Cette probabilité tend-elle vers une limite lorsque l'intervalle [a, b) grandit indc /iniiuent? Quelle est, dans ce cas, cette limite}'

Nous ne discuterons pas ces questions qui n'ont aucun intérêt concret; nous signalons seulement le problème IV à litre de curiosité arillimt'ti(|ue, car sa discussion est, à ce point de vue. intéressante et conduit à des résultats inattendus [- ].

Mais rintérèt de cette discussion réside dan> les piopriétés arith- métiques d^i rapports des vitesses; or, pratiquement, ces propriétés aritliméli(|ues n'ont aucune existence, car cela n'a aucun sens de dire que deux nombres connus expérimentalement ont un rapport commen- surable ou incommensurable. Aussi le problème B' est-il sans intérêt réel; énonçons le problème correspondant en restant dans la réalité :

PiiOBLÈUE W. — Que devient la probabilité qui fait l'objet de B lorsque l'intervalle de temps considéré grandit indéjiniment?

La grande dilTérence qu'il y a entre B' et B", c'est que dans B' les vitesses et les positions initiales des points Q sont supposées connues exactement; tandis que, dans B". les vitesses et les positions initiales

(') Sans avoir fait le calcul, je crois pouvoir affirmer que celte circonstance hypolliétique ne se présente pas efTectivenient pour le problème B ici posé; mais elle se présenterait sans doute si, dans l'énoncé de B, on remplaçait la demi- circonférence C, par un arc déterminé de S.jb" de la circonférence C.

(-) Depuis que ceci a clé écrit (190G), des éludes ont été puhliées sur des problèmes analogues à B'; voir par exemple : L). Kdmg et A. Szixs, Mouvement d'un point abandonné à l'intérieur d'un cube {/iendicnnti del Circoto mate- niatico di Palernio, l. X\\\ I, J9i3, p. 79). Ce travail se rallache aussi à noire problème F ( p. !~«7 ).

78 NOTK I.

des points I* sont connues seulenienl à une certaine approximation; de plus les vitesses varient avec le temps suivant une loi imparfaile- nient connue. Aussi renoncé B'' est-il insuf^^ilnt ; nous allons chercher à le comph'ler.

Xous roi<)n>, pour ahrcj^er, <piel(]ues hvpolhcses dont le lecteur se roruira oonipte aisément qu'elles ne sont pas essentielles; nous sup- poserons d'abord les moyens mouvements constants; nous suppose- serons de plus que l'on connaît pour chacun d'euv un intervalle a — £, a -h s dans lequel il est compris, et que toutes les valeurs de cet intervalle sont également probables. Cette dernière hypothèse étant entièrement arbitraire, j'insiste sur le point qu'elle n'est pas essen- tielle; on pourrait supposer, en imitant un calcul de M. Poincaré, que la probabilité pour que le moyen mouvement soit compris entre fl 4- 5c et rt H- (9 -+- r/9)£ est de la forme o((5) dB, o{0) étant une fonc- tion continue positive quelconque, sensiblement nulle pour | 0 | >> i et telle que Ion ait

/ ç ( 0 j rfO = I .

*^ — ao

INous prenons pour 9(6) une fonction discontinue :

0(6) = } pour |0|<ir

©(0) = o \utur I 0 I ^, I.

Dès lors, au lieu de W. nous aurons l'énoncé suivant :

Problème C — Connaissant à s près les moyens mouvements des n petites planètes et connaissant exactenient (') leurs positions ini- tiales^ on désigne par cr la probabilité pour qu'à u/ie époque t choisie arbitrairement dans un intervalle a, b tous les points \* correspon- dants soient sur C|. Quelle est la limite vers laquelle tend nr lorsque r intervalle a, b augmente indéfiniment?

La probabilité inconnue se calculera au moyen de probabilités élé- mentaires supposées connues : 1° la probabilité pour qu'un moyen mouvement ait une valeur déterminée entre a — e et a -h £ ; nous en avons déjà parlé ; 2° la probabilité pour que t ait y\ne valeui' déter- minée comprise entre a et b\ nous supposons que la probabilité pour

j d — c , . ,

que t soil compris entre c et a est > quels que soient c et a com- pris entre a et b.

('; Celle connaissance exacle des posilions initiales esl encore une hy|)Othèse simplificalricenon essenlielle.

sin LKS PRiNrii'F.s iti: i.a Tiiiotiii: riNKTiyiK hi.;^ (;\z. 79

Le piohièine C a iiiaiiileiuinl un sens inallM'-iii:ili(|iie paifailenienl net; il est tl'ailleiirs ai>é tie \oir(|iie la prohabililé liinile (leiiiaiidée

esl — • Le innveii k' plii^ simple poiii' aiiiver à ce lésiillal nie [)ataîl

êlie une iepiésenlalii)n "^éoincli i(|iie dans l'espace a // dimensions (pie je \ais exposer d'abord en supposant, pour- plus de clarté, n = 9..

Nous désignerons d'une manière générale par 2-a,\H valeur initiale de l'arc OP, et par 2t.ù, la vitesse angiilaiie du pf»inl \\ ; la valeur de l'arc OP, à l"épO(jue / est ainsi 2t. {a,-}- b',1). Pour que P/ soit sur l'arc C, il faut et il suffit que a, H- /v^ / soit compris entre A, et /,H — j A' étant un nombre entier «[uelconque. Nous supposons que Ton a

la vitesse angulaire probable esl i-bj, à iizîi près.

Nous poserons

Xi = a,+ b\t

et nous supposerons que les x, sont les coordonnées d'un point £ dans l'espace à 11 dimensions.

Considérons, dans cet espace, le solide II limité par les plans

A/,

^i = A/ -H -

en désignant par A,, Ao, . .., A"„, n nombres entiers quelconques. Pour

que tous les points P, soient sur G,, il faut et il suffit que le point 'c^ soit

à 1 intérieur de l'un des solides H.

Faisons la figure en supposant /i nz: 2 ; les solides II se réduisent

alors à des carrés, que nous couvrons de hachures. Soit co le point de

coordonnées a,, a=, et .MNPQ le rectangle dont les côtés ont pour

équations

Xi = «1-1- bi± £,,

^î= «2+ ^2=^ ^2-

A l'épocjue / = I , le point i occupe une certaine position à l'inté- rieur du rectangle MNPQ et, d'après nos hypothèses, toutes les posi- tions y sont également probables, en ce sens que la probabilité pour que ^ se trouve dans une aire d'étendue S est proportionnelle à S.

Soit M' N' I*'Q le rectangle homothétique de ]V1M-*Q dans un certain rapport <, le centre d'homotliétie étant oj ; il est clair que le point >' qui correspond à l'époque t esl l'homothétique de | par rapport à oj; il occupe donc, dans le rectangle M'N'P'Q', la même position que H dans MNPQ. l^ar suite, la probabilité pour que ^' soit dans une cer-

8o

laine aire S' située dans M'N'P'Q' est proportionnelle à S'. Or, lorsque t est très granti, le rectjmgle M'i\'F\)'esl très grand par rap- port an\ dimensions des carrés ; on en conclut aisément (pie le rapport

Fie. 1.

lie la somme des aires des carrés couverts de liacliuies situés à rinlérieur de M >J'P'(^V à l'aire totale de ce rectangle est très voisin

de -' la diiïérence tendant vers zéro avec -• On en conclut par un rai- i '

sonnement facile que nous omettons que la probabilité limite de- mandée est -•

Si, au lieu de deu\ tlimensions, il y en avait /i, le rapport du volume occupé par les solides II au volume total est — ; telle est aussi la pro- babilité limite cherchée.

On remarquera qu'en même temps que le piobléme C nous avons résolu un problème un peu diflTérent :

Problème D, — Les liypothi'ses étant les mêmes que dansC, quelle est la probabilité pour que les points P soient tous sur G, à une époque t déterminée^ mais très éloignée de l'époque actuelle^ par exemple dans io'"° années, ou il y a lo'"" années.

On trouve que celte probabilité dilTère extrêmement peu de — Il

est d'ailleurs clair que si la probabilité demandée dans D a une limite lorsque t augmente indéfiniment, celte limite est la solution de C. La réciproque est moins évidente, et c'est pourquoi il n'était pas inutile de distinguer les problèmes G et D.

On peut exprimer le résultat obtenu en disant que la solution exacte des problèmes C et D est précisément celle qu'on obtiendrait

Sun i.Ks l'uiNcit'KS i)K i.\ Tiii;<iiuK ciM rioi'K r>i:s «Az. Si

en re 'gardant les petites /ilnnètes eoiiune indépeiuintites. Il est ma- nilVslc rpie cV-sl là une loi <;éiu'T.tlL' el (|iie tout proMènie de prolj;i- hililc Ici <|iie le siii\;iiil : « Quelle est la firobabililé fxmr ijtie les /Joints représentatifs de quittre des petites planètes (ikjii lixt-es (l'avance) di//'èreut respectivement de moins de i" des sommets d'un eut lé inscrit {non dnnrié d' a\-ance )'! » peiil êlre pose sous une foiintî analoj^iie à C ou I ) el admet alors la solution (|iie l'on obtient en regar- dant les points P distribués par le hasard il' une manière indépen- dante les uns des autres (la probabilité pour que Tun d"eu\ soit sur un arc étant proportionnelle à la longueur de cet arc).

C'e->t là le résultat essentiel que nous voulions obtenir; il n'est pas inutile d'y ajouter quelques remarques.

Observons d'abord que l'on peut ro/tce/J*"/" de ilonner au problème A la même réponse qu'au problème D, si l'on suppose (|ue l'on ignoie les éléments des petites planètes. En réalité, l'introduction d'un temps très long (futur ou passé) dans l'énoncé de D a pour edet de rendre inutile notre connaissance <?/>/? ro,r/>«rt//re de ces éléments. C'est cette connaissance approximative seule qui distingue une époque actuelle ou rapprochée d'une époque éloignée; il est clair, en effet, qu'une telle distinction ne peut avoir aucun fondement logique. Là où il y a con- naissance, il n'y a pas place pour la probabilité : si j'ai pointé les coups d'une partie de pile ou face et si l'on me demande quelle est la proba- bilité pour que. sur /* coups, on ait amené toujours face, je ne devrai

pas répondre — > mais bien i ou o suivant que 1 événement s est ou

non ell'eclivemeii t produit. S'il s'agit au contraire d'une partie future.

je répondrai — ; ma réjjonse pourra être encore différente s'il s'agit

d'une partie commencée.

Si donc la distribution actuelle des petites planètes était très irré- f^'ulière, si, par exemple, tous les points P étaient sur C,,on pourrait parier que cette irrégularité cessera dans l'avenir et n'existait pas dans le passé. Mais la longueur du temps n'a par elle-même aucune vertu spéciale pour amener la réguhirilé : la probabilité d'une distri- bution singulière déterminée reste toujours la même; mais la proba- bilité disparaît pour faire place à la certitude lorsqu'il s'agit d'un événement accompli (ou connu).

II.

Abordons maintenant les principes de la théorie cinétique. On devine que nous allons chercher à poser sous une forme analogue à C B (j

8i NOTK 1.

OU n les problèmes que Ton pose liahitnt'llenuMil si>us une forme

iinalogiie à A, fi li, ou même à I?'.

l'récisons d'abord les livpollM'-es pliv>i(|ues.

Sous considérons un cerlaiii nombre de sphères toutes identiques entre elles. supjH)see-« parfuitenienl èlasti<|ues. et se mouvant à lintè- rieur dune enceinte rij;ide et ali>()lu rncnl (i\e sans être soumises à aucune force extérieure. Lorsqu'une sphère choque les parois ou que deux sphères se choquent entre elles, le mouvement ultéiieur est déterminé par les lois tlu choc des corps paifaitenienl élasli(|ues, c'est- à-dire qu'il va à la fois conservation de la quanlilé de mou\emenl (■) et conservation de la force vive.

Désignons par .?-,. .r,, J's les coordonnées du centre de la première splière, par jc^, .r^, .rj les coordonnées d\i centre de la seconde, etc., par .r.i„_2, -^zn-ii '^3n 'es coordonnées du centre de la «'«■"«. Le fait que les sphère> ne peuvent traverser les parois s'expiime par n inégalités de la forme

. > I /(•n,a";, .r6)> O,

De même, si Ion désigne par a le diamètre d'une des sphères, le

lait que deux sphères ne peuvent pas se pénétrer s exprime par — —

inégalités de la forme

(i)

(Xx — Xi )- -i- ( 3-2 — «Pô )*-i-^^3— ^6 )- «->0,

(Xi—X-! )2-t-(j"2— ^8 )"^ -H ( ••^:i — ^9 )- «->0,

••)

(Xi — X:u,-2 y -+- (^2—^3n-l y- -^{^3— ■f.in )- — «" > O,

{x; — x-: y--^(x:,— xs )2-i-(.r6 — 379 )■-— a2>o,

(^3«-5 — ^3>i2 )- -1- < ^3u-i — ^3n -I )^ •+• < ^.3/;-3 — ^3n )'- — «" > "•

Si l'on regarde les x, comme les coordonnées d'un point dans l'espace à 3/i dimensions, les inégalités ( f ) et (2) définissent dans cet espace un certain domaine D d'un seul tenant. A chaque point P de ce domaine correspond une situation bien déterminée |)(Uir l'ensemble des sphères,

('j Diifis le cas du choc roiilrc une paroi, c'est la pnjjectioii fie la (|uaiililé de mouvement sur le plan langent qui reste constante.

SLH I.KS l'IUNCIl'KS ItK I.A TIIKOIUK CINI- ÏK»r K DES (;A/.. 83

et i(''ci|)i()(|iitMiieiit . (lomiiKMil \;iiie li' point 1^ iors(|iie les sphères se (léplart'iit siiiviiiit les loi-» iii(lM[iiées plus haut?

Il est bien clair il almid (jue, tant (|irii n'y a pas chor, le innuve- incnt (le I' est reclilii^ne et uniiorme; si l'on désigne par c,, tj, Tj les pi (>jo(lioii-< (le la vilt'ssc du point ./■,, ^j, Xj, etc., il est claii" que la V liesse f du point I' a p(jui' pi (jjecli(jiis sur les 3 « axes : r,, c^, . . . , (',„ et par suite <|ue Ton a

=2-?

Cette vitesse «' est donc constanlf, puisf[ue la force vive totale des sphères se conserve.

Supposons maintenant que la sphère ^j, ^2, a';, heurte la paroi; le point 1* rencontrera alors la surface liuiitL' du domaine D

/(.r,, 372, 3-3) = o.

Le point P se réfléchira donc sur cette paroi.

Nous allons voir que les lois de cette réllexion, dans l'espace à 3 n dimensions, sont la i;éuéralisation des lois dans l'espace ordinaire. Considérons une surface quelconque

'f (^1, -^2, . . .,a-,„) = O

en posant, pour ai)réf:er, m r= 3 /<. et soient »',, i.,, .... r,„ les projec- tions de la vitesse du point F qui heurte celte surface en un point de coordonnées .r,, .r.,, ...,J7„,.

Les lois de la réflexion seront les suivantes : /a trajectoire inci- dente^ la trajectoire réfléchie et la normale à la surface réfléchis- sante sont clans un même plan à deux dimensions, dans lequel la normale est bissectrice de l'angle des deux trajectoires; la valeur absolue de la vitesse reste constante.

Les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à

do d^ ô'o

OXi f)T-, ' ÔXin

On a, |)ar suile, pour les projections tr,, n-,, . . . , ir„, de la vitesse après réflexion

d's> do

tv, = A j-, -f- ;.i — i- , . • • , (r,„ = Kv,n -h \J. — ^— •

OXx Ot,„

On déterminera ). et fj. par la condition que les cosinus des angles

> , NOTK I.

(le la «lireclion incidonle el de la dirottioii rénochio avec la noniiale sont éijaiiv. r»^ (|iii (lonne I 0(]iiali(Hi

V.v

ni ,

el |)ar la cniulitioii

V 2 V 2

qui exprime que le carré de la vitesse i'e>le conslanl. l-n tenant compte (le celte seconde relation, la première devient (')

a

-'2-'^-^'-2:(^)'=-

et, d'antre part, la seconde développée s'écrit

(x^-.)2'7-^-^>^H2''dl;-"^^2

dxi

Ces équations admettent la solution à écarter À = — i , f/ r^ o ; "autre solution est

A = I , u =

2d\dXi)

U est d'ailleurs aisé de vérifier que la trajectoire incidente et la Irajecloire réfléchie sont situées du même côté de la surface

<? = o, comme cela doit èlre.

On a ainsi les formules de la réilexion sous la forme

«»', = c, —

' OXi do

■'■1'

KS)"""-'

H)

A^ OXi O'i

m — » m

I (lO \ - OXr

2â \cfx,)

C) Une discussion facile montre que l'on doit prendre des signes différents devant les deux radicaux.

Sni I.KS l'Ul.NCII'KS l)i: l.X TMKOKIK CINETlytK DKS (iAZ.

A|»|)Ii(|iitms ceci au cas où fn —- ait el où cp se réduit ù /(.r,, X2,,r,) = o;

nnii^ auivjii;

(4)

««•l = <'l —

»r.. = f.) —

/ "A "J '/\

•l Cl - — +- C. — : r- C-, j.

/ ôf df 0/ ^

\ (l.r, Ox-, iJx:i I Of

"■3 = *':t

KV , = Cj, »'5 = ''5,

Or ces équations (4) correspondent bien aux vitesses ultérieures des centres des splières dans l'espace ordinaire, lorsque l'une d'elles s'est réfléchie sur la paroi.

Supposons maintenant ([u'il y ait un choc entre deux sphères, les deux premières, par exemple; le point P heurte alors la surface

cp = {xi — Xi)^-h (xo— X;i)-A- i-Vs — Xg)^— a- = o.

Si nous substituons cette valeur de 9 dans les équations (3), nous obtenons, après des réductions faciles, des formules qui peuvent se mettre sous la forme

»', = t'i

T— 'S,

a-

^3 ^6

-s.

S.

(5)

ll'i = i'4

.r» — ./•

- S.

-S,

, -^S — a?6 c

Wa = t'i; -f :; — s,

a-

'*'3// — ''3n,

86 NOTIC I.

en posant

S = (.r, — Tj ) ( i-| — Vi ) -+- ( .r, — Xs ) ( l'î — t's ) + ( -rj — .rc ) ( r:i — tv, ).

Or, on consiale aisoinenl que ces formules (6) sont bien celles qui délerminenl les vitesses des centres des sphères, dans l'espace ordi- naire, après le choc de deu\ d'entre elles.

Par conséquent, le nwtn'e/nent du poinl P dans le domaine D, défini par les relations (i) et {•>.), est le mouvement d'un point libre qui se réflèchil sur tes parois sui\,-ant les lois classirjues.

C'est là un problème (|ue l'on peut l'tudier sous une forme générale^ indépendanuuenl du nombre des dimensions de l'espace considéré, nombre d'où ne résulte pas de diflicullé nouvelle ('). Pour préciser la forme sous laquelle peuvent se poser des problèmes de probabilité relatifs à un tel mouvement, il sera plus commode de nous placer sim- plement dans l'espace ordinaire à trois dimensions.

TIT.

Considérons donc, dans l'espace ordinaire, un domaine limité d'un seul tenant D. Dans ce domaine se déplace un point matériel P, qui n'est soumis à aucune force extérieure et se réfléchit sur les parois suivant la loi classique. La vitesse du point P est donc constante; si on la représente par un vecteur d'origine O, l'extrémité V de ce vec- teur sera ^ur une certaine sphère S de centre O. A un instant t, le point P occupe une certaine position dans IJ et le poinl V une certaine position sur S.

On peut dès lors se poser le problème suivant :

Problème E. — Sachant simplement que le domaine D a un cer- tain volume t' et la sphère S une certaine surface ct, on demande quelle est la prohabilité pour (/ue le point P appartienne à un cer- tain élément de volume d~ de IJ (jue le point V appartienne à un certain élément de XT^itt^^ drx> de S.

Il est clair que la seule réponse que l'on puisse faire, si l'on enfuit

,,.,., d~ do) .

une, est que ces proi)abilites sont — et — ; mais on peut très legiti-

( ' ) On pourrait penser qu'une difficulté pourrait provenir du fait que les sur- faces ( i) et (2) sont des sortes de surfaces cj'lindriques, cliaque équation ne renfermant qu'un petit nombre de coordonnées; mais celte difficulté n'a rien dCssentiel.

srn i.i:s p.untipks i:e t.\ tiikohik ciNKTiyui-: iik> i.v/.. 87

iiieineiil refuser de répoiulie, en (•(nisidéranl les données 0(jfnnie insiiflisanles; nous pourrions répélei' ici les remarques faites j)lus liaul à propos du problème A (p. il).

Nous allons donc liansfornier rén(»ncé K en nous reslreignanl, pour al)réi,M'r, ;i la considération du point V.

riuiiii.K>iK F. — /:'la/i/ (Innnrf lu forme e racle (In (toiiKtinc l), ht jjosilion cl 1(1 vitesse eu-actes (la jxnnt 1* dans le domaine D, (jtielle est la prnhahililé ]>our (fue le point \ afipartienne à un certain élément d',', de S, à une époque t, à choisir arlntr(drement dans un certain intervalle : cette probabilité tend-elle vers une limite lorsque l'intervalle de temps considéré augmente indéfiniment? Cet énoncé est ranaioijne de IV. La probabilité, suivant les données eflTeclives que Ton possède, peut avoir des valeurs très diverses. Par exemple, si le domaine D est un cube, la probabilité aura la valeur zéro pour cer- tains domaines diji et sera égale à une fraction finie pour certains autres domaines infiniment petits ( ' ).

Mais ce problème F me paraît dénué dintérèt, parce qu'il ne corres- p(ui(l à rien de réel. Je ne m'arrêterai pas à une première difficulté, qui cependant ne me paraît pas négligeable : les données que l'on suppose exactement connues dans l'énoncé F peuvent-elles être, je ne dis pas calculées, mais même définies avec une précision absolue? J'accorde pour l'instant que l'on peut concevoir ces données comme connues à une époque t. Mais, sans parler des forces extérieures qu'il n'est pas pos>ible de supprimer complètement, la rigidité absolue de la paroi est une bypothèse absolument irréalisable. Supprimerait-on toutes les actions des corps rapprochés, ou arriverait-on à en tenir compte, un phénomène tel que les variations de l'attraction des étoiles, sur lequel on n'a aucun renseignement, exerce une infiuence, extrê- mement faible il est vrai, mais qui suffit pour que tout raisonnement basé sur le fait que deux nombres sont commensurables, par exemple, soit complèlemenl inadmissible. .Nous sommes ainsi amenés à modi- fier l'énoncé l'" en cherchant à \ introduire celte indélermination nécessaire des données. < )ii peut, par exemple, lui donner la forme suivante :

l'iioRi.i-ME G. — f.es données étant les mêmes (jue dans F, on admet de plus que la position de tout au paitie de la paroi, ainsi que les données initiales^ ne son l connues qu'à une certaine approximation : on demande de calculer la probabilité que le point V soit dans drji

(') Voir lu nolp >. de la page 77.

8S NoTi: I.

</ iine f/>n«^iii- t i(>//iji/ isr cuire des ti/nifex conntus \<{iic Ion fera ensuite i,'/\in>fir indéjinintent), en fonction des prolxihilités élémen- taires, supposées connues, que les données aient telles valeurs com- prises entre les limites qui leur sont assia^nées.

Pour plus (le nellelé. nous allons donner un énonct* de G pour un cas particulier précis, en nous bornant à l'espace à deux diuiensions.

FiK. a.

PROBi.fcWK (i . - O/i considère deux axes rectangulaires et le qua- drilatère dont les côtés ont pour équations

X =	a -1- £, K,
X =	-a^ t. y.
r =	a -H ïaJT,

y "= ~ a -k- t,x,

dans lesquelles s,, êj. £3, £; sont des nombres assujettis à être infé- rieurs à un nombre très petit s. La probabilité pour que l'un d'eux soit compris entre y. et 'î, y. et 3 étant des nombres compris entre

— z et -\- t. est, par hypothèse^ ■ On considère un point V f/ui

part de l'origine O. avec une vitesse dont on donne la grandeur c et dont on sait que l'angle de ^a direction ai'ec Ox est compris entre h — t et h ~ t, la probabilité pour que cet angle soit compris entre 5' et h' (supposés compris tous deux entre ces limites) est, par

hypothèse. • Cela posé, on considère la probabilité pour qu'à

une époque t, choisie au hasard dans un intervalle donné., l'angle compris entre zéro et 2- que fait la direction de la vitesse avec Ox soit compris entre deux limites données o et o-\- A9, et l'on demande

M It I.KS l'HINCII'KS I)K I.A TIIKORIK CIN KTIyHI-: HKS (iAZ. 89

t^ers fjiii'llr limite leiitl celle inohabilih- loraqiie cel iiilervaUe i^ntii- dil iiidéjiniinent sui\anl une loi r/ttelco/i'/i/e.

\uii«. iiNdii". (Hidisi à dessein cel e\fiin>l(', p.uci! (|ii(^. pour £ o, «m so liomc (l;iii> un (•;!> 011 hi vilcsse dl iiécessairemenl paiiillt'Ie ;i l'uni' on I anlie des deux droites li\es; on voit assez ai^t•ln('nl (|iil', qnel(|ne petit (|ne soil s. à condition de faire grandir d'aiilanl pins l'iiilervalle de temps considéré que £ est plus pelil, toules les directions de vilesse de\'iennent éi(idenienl pndynbles, cesl-à-dire que la probabilité limite

demandée est— ^' .Nous ne dé\elopperons pas les raisonnements qui

conduisent à ce résultat, e,\v ils présentent une assez grande analogie avec ceux qui nous ont donné la solution des problèmes (] el IJ. liele- nons seulement le résultat : loitlcs tes directions sont également pro- bahtrs, pourvu (jue l'on considère un temps assez long.

Il V aurait, à ce qu'il me semble, grand inlérél à étendre ce résultat à l'énoncé général du problème G; la principale difficulté paraît être de préciser d'une manière nette la iirobabilité élémentaire en ce qui concerne la forme du domaine; mais le résultat ne semble pas pouvoir être douteux. f[uelle que soil d'ailleurs la forme ado|)tée pour cette probabilité élémentaire, dans laquelle on ])ourrait, en suivant une méthode de M. Poincaré, introduire une fonction continue arbitraire.

Lorsque nous disons d'ailleurs que toutes les directions de vitesse sont également probable>, nous entendons que la probabilité pour que le point \ soit sur un élément de surface d(i> de la sphère S, est pro- portionnelle à f/cu. On arriverait à un résultat analogn-e pour la position du point J* dans D. .Mais nous nous bornerons au premier résultat, dont nous allons chercher les conséquences au point de vue de la théorie cinétique (' ).

(') Un pdiUTiiit faire robjoclion suivante à l'extension du iirohléme G au cas de la tiiéoric cinétique : le domaine L> est limité, d'une pari par les surfaces (i) el d'autre pari par les surfaces [1). Il est assez naturel, d'après les remarques pré- cédentes, de regarder les surfaces (i) comme parliellemenl indéterminées, mais ne doit-on pas regarder les surfaces (») comme absolument fixes"? Telle est l'oh- jection. On peut y faire tout d'abord la réponse suivante : dans la réalité, les molécules ne doivent pas (^Ire regardées comme rigoureusement spliériques; elles ne le sont qu'approximalivemenl et par suite, lorsqu'elles se clioquenl, la distance de leurs centres de gravité n'est pas une constante. Ceci revient à dire que les surfaces (2) doivent élre remplacées par des surfaces très voisines, mais variables avec le temps, suivant une loi inconnue et arbitraire: on rentre donc bien dans l'énoncé du problème <i.

k un autre point de vue, on pourrait conserver les surfaces (a), c'est-à-dire la sphéricité rigoureuse des molécules, el cliercher à baser le raisonnement sur le fait

9»

IV.

Hopienons donc le ilomaiiio ;"i 3// dimeiixions, dans lequel les pro- jections sur les axes de \;\ vitesse du point I' sont r,, r.,, . . ., t'^,,. Si l'on dêsiiîiie par /.- la inovenne des carrés des vilesses des molécules, on a d'ailleurs

L'équation (6) représente une liypersplière dans l'espace à 3/i di- mensions; la probabilité pour que le point \' de coordonnées p, ,

l'j ij,, soit sur un élément de surface div (à 3// — i dimensions)

de cette hypersplière esl proportionnelle à div.

Cherchons quelle esl la probabilité pour que c, soit compris entre a et u -\-dii. Gela revient à cheicher le i apport de la zone de l'hyper- sphère (6), comprise entre les deux plans

»', = M, i-, = M -+- du,

à la surface totale de la sphère.

Changeant les notations pour un instant, considérons l'hypersphére

(G)' r\-^yl^.---^y7n = '-^

et posons

y\ =/-cosç;,,

y-, = r sin '^j cosç»2,

.V.i =rsin9i sino2COS(pa,

ym-\ = /-sinoi smcp2 . . . sin'i„,_2 coscp;„^i, y„, = r sin Çi sin?52 • • • sincp,„_2 sin (p/„_i.

L'élément de -volume rAr a évidemmenl pour expression

div = — dfx dvï . ■ . dy,nx

que ces surfaces sonL corwexes, el par suite dispersent les trajectoires et ne les concentrent pas; c'est la une indication qui deinanderail à être développée. Les calculs auxquels elle conduirait ne seraient pas sans analogie avec ceux de Boltz- niann, mais s'en distingueraient cependant essentiellement, car ils devraient con- duire au résultat en s'appuyant seulement sur la convexité, c'est-à-dire sur une propriété générale des surfaces (2), et non sur leur forme particulière. (Voir la Note II, p. ()7.)

SIR LES i-niM ii'i;s KK i.\ niKurtiK ( iskiini i-: i>i:s caz. <ji

ou. en cxpiimanl au uiovcii des o,,

<Ai' = /•'"-' sin'" -o, siu"'--'ï., . . . >iw^,„ -■, <li^ th^ , . . ^/i,,, ,.

I/aiie «le la zone (|ue Ton ohlicnl en laisanl varier Vi enlie o et

cp -r- </cp est donc é;:ale au produit de sin"'~*ç)(/o [)ar une inléf^rale

indépendante île "j. Le r.ipportde celle aire à l'aire totale de la sphère

esl

sin'" -'d d'j

I sin'" -'^cl-^

On évaluerait aisément le dénominateur, dont la valeur asymplo- tique pour m 1res i;rand esl d'ailleurs bien connue; mais il esl préfé- rable de calculer simplement d'abord une quantité proportionnelle à la probabilité cherchée : nous avons trouvé qu'elle est proportion- nelle à

sin'"-2o cf'^;

si nous remarquons (jue l'on a

u = /• coso, ■ du = — r sincp r/'i,

nous trouvons (|u"elle esl proportionnelle à

III — 3

au .

o-f)

du

Keprenons mainlenanl les notations primitives; nous devons faire ni = 3 /«, /- = n/i-.

L'expression de la probabilité élémentaire devient alors

nk- iri'A'

du

OU. enfin, en négligeant les termes qui renferment n en dénominateur,

e •''^ du.

Un devrait inlegrer entre les limites — /• et H- /•, mais, /• étant très grand par rapport à /.". on peut intégrer entre — ^ et + y-. On a

.11/' / —

f

■"'■du = /.l/^.

V-

9i NOTE I.

La proluiliilil ■• piuir t]in' c, -oit coini»! i- tMit" i> // i( ti -+- du esl donc lînalemetit

k s' -y T,

cV'sl hi loi bien connue de M;i\\vell.

.le ninsisle pas sur les calculs analogues ; piobahililt'- pour que le carré de la vilesse d'une molécule soil compris entre des limites données, etc.. préférant terminer en précisant la signification de la loi de Maxwell au point de vue que nous avons adopté.

Le résultat que nous avons obtenu est le suivant : pour chaque molécule prise individuellement la probabilité d'une vilesse donnée est celle qu'a indiquée l^Ll\\vell. Un calcul supplémentaire, que nous ometlon»-. montrerait de plus que, si l'on considère n' molécules parmi les/j, les probabilités relatives à ces n' molécules peuvent être regardées comme indépendantes à l'approximation que nous avons faite, pourvu que n — n' soit très grand (').

Il résulte dès lors de la loi de Bernoulli que. parmi ces n' mo- lécules, le nombre de celles iloiit la vilesse a une valeur comprise entre des limites déterminées est sensiblement égal au produit de n' par la probabilité pour que la vitesse d'une molécule soit comprise

,- • -. I «...

entre ces limites. (,omme on peut supposer le rapport — très voisin

de 1 unité, tout en supposant n — n' très grand, on ne commet pas une grande erreur en remplaçant dans l'énoncé précédent n' par n. On retrouve ainsi la forme que l'on donne liabilMellement à la loi de Maxwell.

Cette loi nous apparaît donc ainsi comme étant uniquement une loi de probabilité, et la mélliode par laquelle nous l'avons établie per- mettrait de calculer les écarts probables et la probabilité d'un écart déterminé-, c'est là une question sur laquelle je compte revenir. Mais rien n'aulorise à dire que la loi de Maxwell devient plus probable lorsque le temps croît; tout ce que l'on peut dire, c'est qu'en multi- pliant les expériences, ou en les prolongeant, on permet à la loi des grands nombres de se manifester malgré les écarts passagers possibles.

Supj)Osons, par exemple, que l'on joue à pile ou face et que je parie que, sur loooooo de parties, on amènera pile plus de 4ooooo fois et moins de 600000. La probabilité pour que je gagne mon pari est

(') Celle restriction est nécessaire, car il est clair, pour prendre un exemple extrême, que, si l'on connaît les vitesses de « — i molécules, la vitesse de la n'*°" est délerniinée : il n'y a donc pas place pour la probabilité.

sin LES l'iUNt ii'i;s m: i..v riiKonii; ci\»;th.ii i; i>i.s r.v/.. (j\

colossiile; il e^l cependant possible qm' je le ptM'de. Mais supposons (|iie l'un joue pendant chaque seconde quel(|iies milliards de par- lies successives ; je parie à clia(|ue instant que, parmi le dernier millifui de parties, on a anient- pilr pins de qooooo fois et moins de (iouinK).

Il est l'iaii' ipi'il peut arriver (pic je pcidt; iiKHi pari plii-<ii'iirs fois de >uile pendant une fraction <le seconde, mais je pourrai affirmer avec cerlitude (|u'il suffit de laisser s'écouler le temps pour que je j^agne de nouveau. Le fait que le temps s'écoule ne modifie en rien la probabilité élémentaire ; mais le temps pciiiiet à la loi de-< grands nombres de triomplier.

Je n'ai pas à discuter ici la loi <lt's grands nombres ni les principes même du calcul de-; probabilités ; je me contente de conclure que la loi de Maxwell doit nous apparaître comme aussi certaine que l'affir- mation ([u'il V aura la semaine procbaine des décès et des naissances à Paris. Je crois que peu de gens trouveront cette certitude insuffi- sante; je serais lieureuv si les remarques |)récédentes pouvaient avoir le résultat de dissiper les préventions de (pielques-uns à l'égard de la théorie cinétique et de décider queltpies mathématiciens à approfondir un sujet à la fois intéressant et fécond.

NOTE II.

.V MKrVMOI K ^TVTISTlgl i: Kl I.'|RH1;\ KHSl niI.ITK I ' t.

11 peut semliler oiseux de revetilr sur un sujet à propos duquel on a tant écrit; la fréquence même des discussions ne prouve-l-elle pas cependant (|u une solution entièrement satisfaisante des difficultés que soulève l'explication uiécanique des phénomènes irréversibles n'a pas encore été donnée? Je n'ai pas la prétention de fournir en quelques pages une telle solution; mais je voudrais indiquer la voie dans laquelle, à mon sens, on doit la clierclier (-).

1. Mon jioint de départ est le suivant : la notion de la valeur numérique exacte d'une grandeur plivsique quelconque est une pure abstraction mathématique, à laquelle ne correspond aucune réalité. .le vomirais bien préciser ma pensée sur ce point, qui me paraît capi- tal. Il s'agit, en eflet, d'une question tout à lait distincte de celle de la relativité en quelque sorte mélapli\ >iqiie de nos connaissances (*); je me place au point de vue du phv>icien et non à celui du philosophe pyrrhonien ; j'admets comme certain que nos mesures sont assez exactes pour que certains rapports iiuu)ériques nous soient connus avec une certaine approximation; le nombre des décimales que nous avons le droit de regarder comme exactes augmentera d'ailleurs avec le perfectionnement de nos lecliniques; mais ce nombre de décimales exactes atteindrait-il cent, atteindrait-il mille, ce qui est bien peu

(') Journal de Physique, nji i.

{') J'ai déjà donné quelques brèves indicntions sur cette voie dans mon Mémoire : Sur les principes de la théorie cinétique des gaz {Annales de l'École Normale, 190G) (Noie I de cet Ouvrage). Ces indications paraissent avoir passé inaperçues, sans doulc parce que les notations malliématiques que j'emploie dans ce .Mémoire sont assez différentes des notations les plus usuelles. J'aurais dii, en outre, prendre la |)cine de montrer explicitement que mes résultais ne sont pas en contradiction avec les théorèmes généraux que Gibbs a déduits du théorème de Liouvillc ; il esl bien clair qu'une telle contradiction ne saurait exister tant qu'on n'introduit pas de nouvelles hypothèses.

(') Voir la .Note III.

I.V MKCANKit'K ST\ riSTIOl K Kl I.IIIUKVKHSI llll.l TK. gS

viaiseml)l;»l)li', rioii-> leslerions lotijoiiis ;ius^i éloij;iiés de rcxacliliide absolue ;iv(M- la(|iielle le riiiilliéiiialiricii délinil le rapporl de la dia;^o- nale au nMé <lii carré. Non ^eiileiiietit pour mesurer, mais sirnpleinenl pour (Ir/inir une graudeui- phvsl(|Me, il e^l riéressaire de donner des explications coinplt'iui'nlaiies daulanl plus loni,'ue> (|ue l'on veul alleindrc unt' |>liis ijiandi- précision; pour uni' précision infinie, il faudiail des explication^ d'une Icuigneur infinie, c esl-à-dire des explications qui ne pourraient jamais être données ni comprises. Si l'on snppostî (|U(; I ctiil diin svsiéme dé|)eMde de trois paramètres reprcsenlés par un [)oinl dans l'espace à trois dimensions, on ne doit jamais ?>e lii;urer Tensenihle des sxstèmes pour lesf|uels ces paramètres satisfont à certaines conditions comme représenté par un certain volume aux contours nellement délimités (extension en phase de Gihl)s, dans le cas de l'espace à in dienensions); il y a néce>sairement une zone de transition entre la portion de l'espace <|ui app;irlient sùi'ement au vidirme et la portion qui ne lui appartient sûrement pas. Cette /orre, <|ue l'on peut se fiijirrer en imaginant une sorte de flotte- ment, un tremblotement exlrèmenienl léger de la surface qui limite le volume, pourra être dans certains cas négligeable; mais c'est seu- lement après une discussion af)profondie que l'on aura le dr-oit, dans chaque question particulière, de la regarder comme rigoureusement nulle au point de vue pratique. Ce que nous venorrs de dire pour l'état du système s'applique évidemment aussi aux é(|uations difléren- tielles qui régissent son mouvement, c'est-à-dire aux actions inté- rieures et extérieures; là aussi il y a toujours un certain flottement inévitable.

On trouvera peut-être les remarques précédentes trop évidentes; si vrainrerit, en les érronranl, j'ai enfoncé une porte ouverte, j'en suis tr'ès heureux; car, une fois ce point de dépïirt admis, les conséquences me paraissent en découler sans difficulté. Xous allons voir, en eflet, quelles dillérences profondes séparent l'étude du problème abstrait qrre traite le matliérnaticien du problème concret qui peut serri inté- resser' le phvsicien.

•1. l'.lirdions d'abord rrn des problèmes abstraits les plus simples de la Mécanique : moirvement dans rrn plan d'un point matériel libre, (pu n'est >oiimis à arifune force, et qui se réfléchit sur des obstacles sans perle de force vive. La vitesse algébrique étant constante, l'état de notre système déperul de trois paramétres pour les(|uels nous pouvons choisir les coordonnées rectangulaires .v et y et l'angle o que fait la vitesse avec une direcliorr fixe, angle compris entre o et it.. Si nous posons ç) =i :;, nous pourrons représenter chaque état du système

96 NOTK II.

par un point I' siliu' dans la porlion «le Tospace comprise entre les plans ^ ir: o, z=:i~.. Considérons Ions les systèmes pour lesquels le point P est compris dans nn certain domaine D,,. la valeur algébrique de la vitesse étant, bien entendu, la même pour tous ces syslènies, et supposons d'abord qu'il n'v ail pas d'obstacles. On peut déduire des théorèmes généraux »le la Mécanique slatisti(|ue, ou, si l'on préfère, vérilier directement par un calcul simple, (|ue les points situés à l'origine des temps, tlans le domaine Dy. seront, à une époque ullé- rieiire, dans un domaine D de même volume ( ' ) ; mais la forme de D sera, en général, très différente de la forme de D,, ; à mesure que le temps augmentera, l'aire de la projection sur le plan des .ry ira en augmentant, et l'épaisseur parallèlement à Oz ira en diiuinuiml. Si l'on (Igure la projection de Dq sur le plan des jy (on a représenté un carré, pour fixer les idées), et un point M appartenant à la projection

KiK. 3.

de D. les valeurs de z correspondant à M ne peuvent correspondre qu'aux valeurs de o intérieures à l'angle a sous lequel de M on voit D^ ; cet angle décroît proportionnellement au temps.

Ces conclusions ne sont pas modili'ées par l'introduction d'obstacles fixes limités par des droites sur lesquelles >e réflécliissenl les trajec- toires; la seule diflerence est la suivante : lorsqu'il n'y a pas d'obs- tacles, Pextension de l'aire de la projection sur le plan des xy est illimitée; si, au contraire, nous supposons que nos points se meuvent dans une région limitée par un polygone, la projection de D ne peut pas sortir de ce polygone; elle arrivera peu à peu à le recouvrir plu- sieurs fois; le domaine D se composera alors de feuillets de plus en plus nombreux et de plus en plus minces.

Lorsque les obstacles sont curvilignes au lieu d'être reclilignes. il n'y a presque rien de changé non plus, si le rayon de courbure est assez grand par rapport aux dimensions du domaine primitif; il en est tout autrement si les obstacles sont des cercles exlréniement

(') De l'ésalilé des volunies, quelque petit que soit D„, résulte liiivariance de ce que Gihbs appelle la densité en phase.

l.\ MÉCANIQUE STATISTIQUE ET LinRKVERSIBILITK. tjy

petits, analogues au\ molécules sphériques de la théorie cinétique. Tout à riieure, les valeurs de cp en un point M corresporuJaient à l'anj^le a sous lequel on voyait de M le domaine Dq ; si les trajectoires, au lieu d'aller direcleiiient de !)„ en M, se réfléchissent sur un obs- tacle rectilifjne, on devra romplarei D^ par son image dans ce miroir et, comme nous l'avons dit, rien d'essentiel ne sera changé ; si robslacle est un cercle de rayon très petit par raj)poil à la di^lance parcourue entre I)„ et M, tout se passera comme si un observateur placé en M regardait l'image de I),) dans un miroir très convexe (miroir cylindrique dans le cas du f)lan, sphérique dans le cas de l'espace). Si l'on suppose qu'il y ait plusieurs obstacles tous pareils, cercles de rayons très petits, les longueurs des trajectoires entre ces obstacles étant di\ à cent fois plus grandes que les diamètres des obstacles ('), tout se passera comme si nous avions des globes sphériques de i*"™ de diamètre, distants les uns des autres de quelques mètres; un objet que nous apercevrions dans l'un de ces globes après plusieurs réflexions successives aurait un diamètre apparent rendu environ dix fois plus petit par chacune des réflexions, c'est-à-dire lo" fois plus petit, s'il y a n réflexions. Gomme le nombre des réflexions est grossièrement proportionnel au temps, si la répar- tition des obstacles est supposée grossièrement uniforme, on voit que l'amincissement des feuillets du domaine D est maintenant, non plus proportionnel à /, mais proportionnel à e'^'. Au bout d'un millier de réflexions (ce qui exigera un millionième de seconde si les obstacles sont répartis comme les molécules d'un gaz, la vitesse du point maté- riel étant égale à la vitesse moyenne de la théorie cinétique), l'épais- seur des feuillets sera de l'ordre de grandeur de io~'*""' et leur nombre (-), par suite, de grandeur de lo"'"".

3. Keprenons maintenant le même problème, mouvement d'un point matériel dans un plan, mais en supposant rjue les conditions abstraites irréalisables sont remplacées par des conditions plus

(') Cesl bien la relation entre les diamètres inolcciilaires et les iibies parcours des molécules. Voir, par exemple, le ftecueil de constanles physitjues, p. i33.

(') Ces résultais sont infiépcndanls des dimensions du domaine Dj, du moment qu'elles ne sont pas trop petites. Dans la liyure de la page précédenle, l'angle (? ne prend etTeclivement toutes les valeurs comprises dans l'angle a que si cet angle a est inférieur à l'épaisseur du domaine D„, comptée parallèlement à Oz; c'est une condition qui sera très rapidement vérifiée pour a dans le cas des réflexions successives, du moment que cette épaisseur est supérieure ù lO""", par exemple, ce que nous devons admettre en raison de l'indétermination de^ don- nées, nv eùl-il pus d'aulre cause d'indélcrminalioii.

ff^ Noric II.

conerèles ('). Le point iiiiih-riel ronsidéré est, par exemple, le centre tle gravité (l'iiiie molécnle; mais l'absence absolue de force exlé- rieure, la conservation (ihsolitc «le la force vive, la llx.ilé absolue des obstacles, la dt-lerminalion ubsnlnr de Icnr forme p^i'omélrique ne seront pins Mjpposées. mais remplacées par des livpolliése^ relatnes. Ces livpolhè»es devront laisser j)lace à un certain llollement dans les limites du domaine Dp el des domaines D qui s'en déduisent; on constatera facilement qu'un déplacement de i*""* imprimé à une masse <le i", située dans une étoile, se traduit par une variation du champ de gravitation qui dépasse de beaucoup la fraction 10-'°" des champs usuels. H nous est donc impossible, à moins d'intro- duire lunivers entier dans nos équations (et la question se pose- rait alors de savoir si l'univers est fini), de ne pas admettre un lloltement de l'ordre de grandeur lo"'"" par rapport aux unités usuelles. Mais alors la structure infiniment feuilletée acquise par noire domaine D au bout d'un millionième de seconde est beaucoup trop fine pour être conservée; les feuillets dont l'épaisseur était de l'ordre de lo"*""" débordent les uns sur les autres et le domaine D se trouve remplir entièrement l'espace dans lequel le calcul abstrait ne lui attribuait qu'un volume égal au volume initial Dq. C'est ici que disparaît la conservation de la densité en phase; nous obtenons, au contraire, une répartition en phase sensiblement moins dense que la répartition |)rimitive, mais d'étendue beaucoup plus grande; le même raisonnement jieut être recommencé d ailleurs pour une très petite portion quelcou(|ue de cette nouvelle répartition, el ainsi de suite.

k. Les mêmes raisonnements s'appliqueraient à l'élude des pro- blèmes plus généraux de la théorie cinétique. Ils permettent de répondre à une objection souvent répétée.

Cette objection, soulevée pour la première fois par Loschmidt en 1876, est la suivante : Si Ton change les signes de toutes les vitesses, ce qui revient à changer le signe du temps, les équations de la Dynamique ne sont pas modifiées; ces équations ne permettent donc pas de prévoir dans l'avenir une évolution différente de ce que serait révolution si l'on remontait vers le passé (en changeant le >igne du temps). Les remarques précédentes montrent nettement quel est le

.( ' ) Nous devrions nous placer dans l'espace el non dans le plan; mais il n'y a, en réalité, pas de diiïérence profonde enlre les deux problèmes, et nous conser- vons l'avantage d'une représenlalion géométrique des phases dans l'espace ordi naire.

LA MhXAMyti; STATISTIQIK Kl I. lUUKVKHSIUlMTi:. 99

rôle jout' par le temps cl pennelteiil de comprendre pourquoi il n'est pas possiMe iPen renverser le sens; le présent laisse l'avenir inrléler- iniiié, mais on ne peut parler d'in iéterniinati(»n du passé. L'indéler- niinalion de l'avenir est, bien enlcndii, relative à nos moyens d'inves- lii^ation et de colcnl; elle disparaît d'ailleurs si nous nous contentons, comme il est naturel, de la connaissance de l'état le plus i)roljal>le, c'esl-à-dire des portions du domaine 1) (|iii conduisent à des résultais identicjues, et qui sont immensément étendues par rapport aux autres portions de ce domaine, portions qui conduiraient à des résultais exceptionnels. Je n'insiste pas sur ce point, sur lequel tout le monde est d'accord. On a souvent cherché à donner une idée de rextrème rareté des cas exceptionnels, rareté qui dépasse tout ce que notre imagination peut concevoir; voici une comparaison qui me paraît particulièrement frappante. Concevons qu'on ait dresse i million de singes à frapper au iiasard sur les louches d'une machine à écrire el que, sous la surveillance de contremaîtres illettrés, ces singes dacty- lographes travaillent avec ardeur lo heures par jour avec i million de machines à écrire de types variés. Les contremaîtres illettrés rassembleraient les feuilles noircies el les relieraient en volumes. Et, au bout d'un an, ces volumes se trouveraient renfermer la copie exacte des livres de toute nature el de loules langues conservés dans les plus riches bibliothèques du monde. Telle est la probabilité pour qu'il se produise, pendant un instant très court, dans un espace de quelque étendue, un écart notable de ce que la Mécanique statistique considère comme le phénomène le plus probable. Supposer que cet écart ainsi produit subsistera pendant quelques secondes revient à admettre que. pendant plusieurs années, notre armée de singes dactylographes, travaillant toujours dans les mômes conditions, fouinira chaque jour la copie exacte de tous les imprimés, livres et journaux, qui paraîtront la semaine suivante sur toute la surface du globe. 11 est plus simple de dire que ces écarts improbables sont purement impossibles.

o. La théorie dont j'ai esquissé les grandes lignes se distingue très nettement <les théories basées sur les hypothèses ergodiques, mais a cependant certains points communs avec ces dernières el exigerait, comme elles, îles recherches nouvelles pour être rendue complètement rigoureuse au point de vue mathématique; mais les difficultés me paraissent bien moins profondes lorsqu'on adopte le point de vue plus réel auquel |'ai essayé de me placer. Dans les théories de Boitzmann el dans celles de Gibbs, une place piivilégiée est faite au théorème de Liouville. à la conservation de l'extension en phase; ce théorème

est fort inlt'iessant au point de vue malhématique, mais je crois que la tléoroissauco exponentielle des dimensions des éléments d'extension coliérenls entre eux lui enlève toute signification physique; sans même qu'il soit besoin de faire appel à la notion île la discontinuité des prohabilités (jui résulterait de la théorie des quanta, on doit rei:arder comme une pure abstraction la notion de la conservation du Aolume. lorsque ce volume se divise en feuillets dont répaisseur s'exprimerait, an bout d'une seconde, par un nombre décimai com- portant des milliards de zéros après la virgule.

(). Il me semble difficile de ne pas dire, en terminant, quelques mots des remarques de Boitzmann sur l'application du deuxième principe à l'univers. Comme le dit fort justement lioltzmann, « assu- rément personne ne prendra de telles spéculations pour d'importantes découvertes, ni pour le but le plus élevé de la science, comme le fai- saient les anciens philosophes. Mais il n'est pas certain qu'il soit juste de les tourner en dérision et de les regarder comme tout à fait oiseuses ». Boitzmann développe une conception mécanique de l'uni- vers, dans laquelle il se produit, çà et là, des passages d'un état plus probable à un état moins probable, de sorte que, pour l'univers entier, l'irréversibilité n'existe pas. Cette conception est rigoureuse au point de vue abstrait si l'univers est un système mécanique pou- vant être défini par un nombre fini de paramètres dont le champ total de \ariation est fini, mais elle ne me paraît pas acceptable, si l'on adopte le point de vue réel que j'ai cherché à préciser. Admettons, pour un instant, que nous puissions accepter cette image pour l'uni- vers que nous voyons, c'est-à-dire que nous puissions fixer un nombre très grand R, tel qu'il n'y ait jamais rien à l'extérieur de la sphère S de rayon H; cette sphère S sera notre univers; l'évolution de cet uni- vers sera, d'après un théorème de Poincaré, aussi voisine que l'on veut d'une évolution périodique et, dans des périodes immensément longues, les phénomènes en contradiction avec le second principe y seront aussi fréquents que les phénomènes en accord avec ce principe. En laissant même de côté les difficultés, cependant à mon avis insur- montables, entraînées par l'hypothèse que rien ne sort de la sphère S, il faut observer que la conclusion n'est rigoureuse qu'autant (|ue nous supposons absolue l'inexistence de toute action extérieure à S. Ima- ginons, avec O. Chwolson ('), une sphère S2 dont les dimensions par rapport à S seraient celles de S par rapport à un atome, puis une

(') Scientici, t. Nlll. l'jm, pages 4' (lexlc) cl \:j (suppl.j.

I-A MECAMQL'E STATISTIOIK F.T I- IHREVKRSiniMTK. loi

splière Sj (|ui sérail à Sj ce que Sj est à S, et ainsi dt* suite jusqu'à une splitMe S„ dont l'indice ii serait égal à i iniliiiju. l'our (|ue l'application à S de la théorie mécanifjue de la quasi-périodicilé due à l'oinraré fût légitime, il faudrait que nous fussions assurés qu'il n'y a pas, au\ contins de S„, quel<(iie univers S' de mêmes dimensions que S, bien (|ue probablement très dillérent de S et pouvant, dans le cours des temps, agir sur S. Car la durée des lenips nécessaires pour l'applioalion du théorème de Poincaré est tellement longue qu'une rencontre de S avec S' serait infiniment probable, bien avant que ces temps fussent écoulés. Ceci revient à dire qu'il est au moins aussi vraisemblable de supposer que les lois de notre univers seront complè- tement modifiées par une combinaison avec un autre univers (actuel- lement intiniment plus éloigné de lui (|u'un atome situé sur la Terre n'est éloigné d'un atome situé sur Sirius) que de supposer un chan- gement de sens appréciable dans la variation de leiilropie. Nous ne pourrions aller plus loin qu'en spéculant sur l'infini ; ce ne serait plus du tout de la phvsicjue.

NOTK 111.

I.\ IIKI.VTIVITB m: I.ESPACK D'.VPRÈS M. IIKMII l'OINCARK ( ' ).

Cel article (-) est rempli, comme tout ce qirécrit M. Poincaré, de vues profoniles et sa lecture est suggestive par tout ce qu'elle apporte diilées nouvelles et paifois imprévues. Je ne me hasarderai pas à résumer ces pages que chacun lira; mais je voudrais essayer d'indi- quer sur quels points il ne m'est pas possible d'être d'accord avec M. Poincaré. Il me semble que, tout en proclamant la relativité de l'espace, il croit savoir ce que c'est que res|)ace « en soi ». sinon que pourraient signifier des phrases comme celle-ci :

i< Supposons que, dans une nuit, toutes les dimensions de l'univers deviennent mille fois plus grandes : le monde sera resté semblable à lui-même, en donnant au mot de similitude le même sens qu'au troisième Livre de Géométrie. Seulement ce qui avait i"" de long mesurera désormais i*"" (p. 2). »

« Nous avons si peu l'intuition de la distance en soi que, dans une nuit, nous l'avons dit, une distance pourrait devenir mille fois plus grande sans que nous puissions nous en apercevoir, si toutes les autres distances avaient subi la même altération (p. 5). »

Je dois avouer (|ue mon esprit ne peut attribuer de sens à ces hy- pothèses, à moins quelles n'aient simplement pour objet de nous rappeler que notre connaissance est bornée à des systèmes de rela- tions et par suite ne peut déceler toutes les modifications qui laissent immuables ces systèmes de relations. Mais c'est là une thèse philoso- phique générale, (|ue personne ne songe plus à contester. Toute la question est de savoir quel usage il convient qu'en fasse le savant. Or sur ce point, je me sépare de M, Poincaré. Si toutes les dimensions de l'univers devenaient mille fois plus grandes, comme nous ne pourrions nous en apercevoir en aucune manière, c'est donc (|ue

( ' ) Revue du Mois, juillet 1907.

(') Année psychologique, ireiziénic année, 1907, p. 1-17.

I.V RKl.ATIVJTK r>E L ESPATK KM'IIKS M. IlKNril POINCAni;. 1<)>

l'univers n'atiriiit pas cliangô. iNous devons dnwr affirmer vu loule rii,'iioiir (jiie ce phénomène ne s'est pas pro<liiit la imil dernière; reclierolier s'il s'est produit ti'aiirait un s(Mis que si nous connai>.sioiis un espace absolu à (|ui reporter cet espace relatif.

M. Poincaré prévoit bien ces objections <|iiaml il parle de la théorie lie I.orentz-I'itzf^erald, d'après larpiellc les lon;,'ueurs matérielles sont dimituiées dans le >cn> du mouvement, (^'tte théorie n'a un sens que si l'on prend roinnie espace ahsrilii le milieu dans le(piel se produi- sent les phénomènes lumineux, milieu dans lequel la vitesse de la lumière est supposée être la même dans toutes directions. Les physi- ciens ont des raisons assez sérieuses pour admettre cette théorie, qui entraînerait une modification extrêmement faible dans certaines mesures de longueur. Que ces modifications soient extrêmement faibles, peu importe à M. l'oincaré car « elles pourraient être plus fcM'tes ». Il semble liien ici que le langage de M. Poincaré risque d'entraîner à quelque confusion. Cet espace absolu qu'il ne connaît p(jint, mais dont le mirage le hante, lui paraît-il pouvoir déformer fortement certains termes des relations physiques, sans entraîner dans les autres termes des modifications correspondantes ? auquel cas on ne comprendrait plus comment nos mesures de la vitesse de la lumière peuvent réussir. Ou bien veut-il répéter sim- plement que les modifications réelles échappent à la connaissance, parce que nous ne saisissons que des relations ! Mais alors pourquoi dit-il que nous ne connaissons pas la « véritable vitesse » du Soleil ? Il faut donc conclure que, précisément, ces modifications dues a une concordance imparfaite entre nos différents systèmes de mesure, /le /'Ottrraient pas être plus fortes. Notre connaissance des phénomènes physiques n'est peut-être pas assez complète pour que nous puis- sions affirmer que notre science des relations spatiales est exacte à un millionième près; mais elle est assurément suffisante pour «|ue nous soyons certains qu'elle l'est à un dixième près ('). Cela suffit pour que nous avons de l'espace expérimental (-) une notion suffisamment stable, non point relative au sens oii M. Poincaré entend le mot relatif.

Klle n'a j)as l'exactitude absolue qui ne saurait appartenir à aucune notion expérimentale, mais celle exactitude est approchée et l'appro-

(') L'erreur possible est iissuréincnl inférieure à un dixième. Il est t-videnl ilii'il y a les mêmes diffictillés à fixer exavtcmcnl la liinile supérieure de l'ernur (|u'a supprimer toute erreur.

(•) Je laisse iei rompiclement de eùlé la discussion de la conceplion psyclioio- i;ii|ue et métaphysique de l'espace, comme forme indépendante de tout contenu. Celte conception n'a rien à voir avec la question i<i disculée.

lo4 NOTE III. — I.A REl.ATIVITK l»r. l.'ESPAriC llAPnKS M. IlICMIl l'OINcAUÉ.

xiiDatiiMi (levieiil de plus en plus prooise ;i rnesuie (|ue noire science se perfeclionne.

Le relalivisine de M. Poincaré semble lenir à ce (]ue rt-niinenl géo- mèlre rapporte toutes nos connaissances à un absolu au(]uel il doit croire, [xiisqu'il le prend comme norme. De plus, il excelle à tirer parti, en les généralisant, des singularités analytiques qui se ren- contrent dans nos théories imparfaites. Mais cette généralisation risque d'entraîner, chez des esprits moins au courant que le sien des questions (]u"il traite, des illusions très graves. On en a un exemple dans l'interprétation inexacte qui a été donnée à ses obser- vations sur la relativité du mouvement de la terre. Il n'était donc |)eut-ètre pas inutile de préciser que ses idées sur la relativité de l'espace sont des idées de métaphysicien et non desavant : l'appareil scientiru|ue qui les entoure n'ajoute rien au doute métaphysique de l'existence des objets extérieurs (').

Mais les développements analytiques de M. Poincaré risquent de donner au lecteur, hynoptisé par l'appareil mathématique, l'impres- sion (jue dans l'affirmation de cette relativité, il v a autre chose que l'attitude métapiivsi(|ue primitive.

G'e>t cette illusion que j'ai essayé de signaler brièvement ici.

(') « L'hypothèse de la rotation de la terre conserverait le même degré de cer- titude (|ue l'existence même des objets extérieurs. » Henri I'oincark, La valeur de la Science, p. 272.

NiHK IV.

yiKi.yi i;s iii;m.vuqi Ks si h i.\ tiikoiuk dks rksonateirs ( ' )•

1. Ihins loiilcs les lln-ories mt-caiiiques el pliysiques, on se Iroiive forcétnenl coiuluil à écrire des écjualions approcliées, el à raisonner connue si ces écjiialions élaienl exactes. Il est des cas très nombreux où les tliéorèmes classiques sur la continuité des intégrales des équa- tions dillérentielles percnetlraienl de légitimer rigoureusement cette manière de procéder; mais il n'en est pas toujours ainsi. Et cependant, dans certaines tiiéories physiques, on suppose essentiellement que certaines équations sont vérifiées avec une exactitude mathématique absolue; on admet par exemple, que les équations dillérentielles ont la forme harailtonienne; on admet aussi, parfois dans le même raison- nement, que le second principe de la thermodynamique est vérifié partout et toujours d'une manière rigoureuse'; ces deux hypothèses ne sont cependant compatibles entre elles que si Ton néglige certaines probabilités extrêmement faibles; absolument parlant, elles sont contradictoires. Il n'est donc peut-être pas inutile de montrer sur un exemple précis, comnient la présence de termes, aussi petits que l'on veut, peut modifier complètement l'allure d'un phénomène défini par une équation dillérentielle très simple.

2. Par un choix convenable des unités, l'équation diflérentielle du mouvement d'un résonateur linéaire se met sous la forme

0) (^)'-'' = -^

celle équation exprime que la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante; on déduit de cette équation que le mouvement est périodique, la période (égale -a it. avec les unités choisies), ayant une valeur indépendante des conditions initiales. Supposons maintenant que, sous l'inlliience d'une cause extérieure

(') Société française de P/ivsi'/ue, séance <iu m juin nji •

lo6 NOTE IV.

(]ue je no précise pas. 1 *'nerj;ie du résonateur varie avec le temps, et considérons d'abord le ras où cette variation est linéaire; l'équa- tion (i) doit alors être remplacée par

(rt) (-^) +.rî=.,î-^ .,/./,

À étant une constante. I.e point sur lequel je veux attirer I attention est le suivant; (|uel(]ue petit (|ue soit /. l'intégrale de l'c'/iiaUon (2) n'est pas périodique : le jxiint matériel d'abscisse .r se déplace tou- jours dans le même -^ens; la dénjonstralion se déduit très aisément de l'équation obtenue en dérivant {?.) par rapport à /.

Les conséquences seraient analogues pour un résonateur à deux dimensions; si, à l'intégrale des forces vives modifiée par un terme en À

/dry- ./ddy-

on adjoint l'intégiale des aires, supposée vérifiée, indépendamment de À,

'-di = ^-"

on constate que, en passant du cas où /. est nul au cas où / est aussi petit que Ton veut, il se produit une discontinuité; le mouvement elliptique de période fixe se transforme en an nioinement quasi- circulaire dont la période, dépendant du rapport des a\es de l'ellipse, peut a\.oir une valeur quelconque ( ' ).

3. La constance des périodes d'émission paraissant être un fait expérimental inévitable, on déduit de ce qui précède que, si la fonc- tion qui représente l'absorption ou l'émission d'énergie par un résonateur admet une dérivée, cette dérivée doit s'annuler avec une périodicité égale à la période propre du résonateur. Mais ce résultat particulier me parait moins important que le fait même de la discon- tinuité due à la présence d un terme en /. aussi petit que 1 on veut.

4. Hn terminant je voudrais faire sur la théorie des résonateurs une autre remarque qui me paraît indépendante des précédentes. On

(') On trouvera le développement des calculs dans un Mémoire publié dans les Annali di Matematica. 3' série, t. XXI, iyi3 (second des Volumes consacrés à la mémoire de Lagrange).

riEMAnyiKs srn i.a thkdhii: i»i:s uesonateiims. 107

sait quelles (lifli<'iillt''s résulletil du l'ait (|iie la théorie de ré<jiii|»arti- tiot) lie l'éneri^'ic n'est pas conciliai)le uvf.c riiv|)(>tliè>e (liflicileinenl évilable de l'existence dans l'étlier d'une inHuilé de degrés de liberté. Si Ton admet cette dernière liypollièse, le seul moyen d'échapper à la dissipation intégralede réuerj;ie dans l'élher paiait être riiypothèse suivante : ri choque température, il y u une probabilité déterminée pour (jue chaque degré de liberté entre en jeu et ces probabilités forment une série convergente ; riiypothése de Planck correspond au cas particulier où la série se réduit à un nombre limité de termes, tous les autres termes étant nuls; la série est alors forcément conver- gente. L'étude de l'hypothèse plus générale que la série est conver- gente tout en ayant une infinité de termes, conduirait à utiliser la notion de probabilité dénombrable; on retrouve aisément par cette voie ce fait, qu'il peut \ avoir une probabilité finie pour l'énergie nulle de lélher. et une probiibililt- iiifniiinent |)elile pour une énergie inlininient petite ( ' ).

.-1 lu suite de la Conintuiiicativii de M. Boi;i;l, .Al. A. Giillkt lui a adressé la .\ote suivante :

« Par un exemple simple et typique, vous nous avez iiionlré à quelles conlra- (lictions nous serions exposés en étendant, sans circonspection, aux phénomènes physiques, des déductions pourtant exactes au point de vue mathématique. Il est bon que ces choses soient dites par des mathématiciens qualifiés, mais il y a une forme de raisonnement que je me permets de vniis soumettre comme plus lami- lière, peul-èire, aux physiciens.

» Il est tout à fait légitime d'écrire deux équations telles que les suivantes:

\di)

, X /dxy ^ , ,

(3) (^_j+^-=.a.+ ,,,

cl d'en comparer les solutions

■s{x,t) = o, <l^{x,t) — o.

» Mais il n'en est plus de même lorsque les termes de ces équations, perdant leur sens abstrait, doivent, comme c'est le cas dans l'exemple que vous avez choisi, mesurer de Vénergie. Car celte grandeur est susceptible de plusieurs formes à chacune desquelles correspond une expression spt'ciale, composée avec des para- métres propres à chaque espèce de phénomènes. El Hans le cas du pendule, on a seulement le choix entre les énergies potentielle et c.nétiqne de contiguralion ; le mouvement spontané du système ne pourra donc être modifié par l'intervention

(') \'oir Emili: Hohkl, Len probabilités déiiombiables el leurs applications arit/imetii/ucs { Kendiconti dcl Circolo ntaternntico di /'alerino. t. XWM,

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Ull I.A riIKORlK OKS HKSONATKinS.

iriiiic l'ni'rgii" .iiixiliairr <|ii'.iul.int «jiio cello-ri sera iiilroduitc dans \c syslrine sous l'une lies fiiriiics <ï.>;5//////(7/>/<'.< .- par percussion, action conlinne adJDiiUe à la pesanteur, etc.

» S'il en était autrement, l'énergie considérée serait en (tisjHinibilite dans le système, mais non point absorbée, c'est-à-dire répartie sous les formes actives el convertibles les unes dans les autres. Ainsi, en (lucun cas, l'éi/iiation (2) ne saurait avoir un sens physique : s'il s'agit d Une localisation, on ne peut faire que le total énergéticiue du système, el s'il s'agit d'une absorption efficace, l'é- nergie ne saurait être exprimée sous la forme algébrique AMjui n'est ]ias la forme sous laquelle une énergie assimilée par le pendule peut figurer dans l'iiisloire de son mouvement. »

I

M. Il AHAMAnn observe que, dans l'exemple cité par M. M. HorcI, on opère sur l'équation des forces vives, c'est-à-dire sur l'équation de la dynamique modifiée par multiplication par x' .

On sait que celte mullipiicalioii (qui est un artifice d'iiilégralion ) introduit une solution étrangère : à certains moments, l'équation oblenue cesse d'être équi- valente à l'équation véritable (jui régit le pbénomène. C'est précisément à ce moment que s'introduisent d'une part, pour l'équation primitive ()v = o), une solution singulière et d'autre part, pour ). x o. la circonstance remarquable signalée par M. Borel qui est liée indissolulilenient à l'existence de celte solution.

M. HoREL. à propos des remarques de M. lladaniard, fait observer que, il y a 20 ans, la forme énergétique aurait paru plus naturelle el plus simple que l'équation du second ordre; aujourd'liui, il n'en serait peut-être pas absolument de même, en raison de l'importance atlacliée au groupe de Lorentz; les équations énergétiques continuent cependant à jouer un rôle important en Mécanique sta- tistique et dans la tbéorie de l'équipartition ; il est peut-être excessif de les considérer comme un pur jeu de formules, sans intérêt physique, ne correspon- dant qu'à un artifice analyli(iue. En fait, ces équations sont utilisées; il faut donc savoir dans quelle mesure on peut y faire des approximations.

La remarque de M. (">uillet ainsi que des remarques fort curieuses faites en séance par M. II. Abraham soulignent, au point de vue des physiciens, le fait que le résultat mathématique obtenu contredit l'expérience; c'est bien ainsi qu'il a été présenté, non pour mettre en doute les résultats expérimentaux, mais pour mettre en évidence les défauts de certains raisonnements par continuité. Quand au sur- plus de l'observation de M. Guillet, il semble que tout revienne à définir ce que l'on appelle énergie absorbée; il s'agissait pour M. Borel de l'énergie absorbée par le degré de liberté considéré.

»»»»^"

I

\

NOTE V.

Slll IN IMIOBI.KME l)i: l'KOllAllll.lTÉS (.KoMKTIliyUES.

Certains pliénomènes physiques (notamment l'émission des parti- cules y. du radium) conduisent à étudier un problème de proha- bililr-;, aucjuel on peut donner la foime j;éomélri(jue suivante.

Problèmi-; I. — Des i)oinis sont dislrihués an hasard su f une droite indéfinie, de telle manière qu il y en ait en moyenne un par unité de loni^ueur. Quelle est la probabilité pour qu'il y en ait préci- sément n dans un i/iten-alle de loni(ueur donnée x'f

Pour résoudre ce problème dune manière élémentaire et sans

utiliser les propriétés des intégrales eulériennes, supposons d'abord

(jue la droite ne soit pas illimitée, mais ait une longueur très grande L

N et renferme N points; par liypotlièse, le rapport t- tendra vers l'unité

lorsque L augmentera indéfiniment.

Soit CT„ la probabilité pour que l'intervalle donné œ renferme n points déterminés parmi les \ points situés dans l'intervalle total L et p,i la probabilité pour (|ue l'inlervalle x renferme n points non spécifiés; on a évidemment

N!

Pn = ^>.

<_>n peut écrire de même Pn-hl = ^ et l'on en déduit

n\ (i\ — «;'

n:

/>/> + ! Pn

( /t -T- 1 ) : ( N

D!

Nous allons évaluer le rapport ' "~*~ ; désignons par A,, A^, ... A„,

^H + i! /*-+-• points délerminés, par CT„ la probabilité jiour que Aj, A,, . . ., A„ Soient dans l'intervalle donné, tous les autres A étant en

ld*.\

lo8 NOTK IV. — RKMAnQl KS SIH I.A THKORUÎ DES KÉSONATKIRS.

ilunc ônrrgic auxiliaire (|n\ui(ant que celle-ei sera inlroduilc dans le système sous lune tic> (ormc^ assirnilaùlrs : par percussion, action conlinue adjointe à la pesanteur, etc.

» S'il en était autrement, !"éneri;ie roiisidorée serait en tlisponibililé dans le systénte. mais non point absorbée, oest-à-dire répartie sdus les formes actives et convertibles les unes dans les autres. Ainsi, en aucun cas, l'équation (2) ne saurait a\oir un sens pfiysit/ue : s"il s'aiiit d une localisation, on ne peut faire que le total énerj:éii(jue du système, et s'il s'agit d'une absorption efficace, l'é- nergie ne saurait être exprimée sous la forme algébrique AMpii n'est pas la forme sous laquelle une énergie assimilée par le pendule peut figurer dans l'iiisloire de son mouvement. »

M. Hadamahp observe que, dans l'exemple cité par M. E. Borel, on opère sur lèqualion des forces vives, c'est-à-dire sur l'équation de la dynamique modifiée par multiplication par x'.

On sait que cette multiplication (qui est un artifice d'intégration) introduit une solution étrangère : à certains moments, l'équation obtenue cesse d'être équi- valente à l'équation véritable qui régit le phénomène. C'est précisément à ce moment que s'introduisent il'une part, pour l'équation primitive ('X=:o), une solution singulière et d'antre part, pour )> r.6 o. la circonstance remarquable signalée par M. Borel qui est liée indissolublemenl à l'exisience de celte solution.

M. IJoitEL. à propos des remarques de M. lladaniard, fait oi)server que, il y a 20 ans, la forme énergétique aurait paru plus naturelle et plus simple que l'équation du second ordre; aujourd'hui, il n'en serait peut-cire pas absolument de même, en raison de l'importance attachée au groupe de Lorcntz; les équations énergétiques continuent cependant à jouer un rôle important en Mécanique sta- tistique et dans la théorie de l'équipartition ; il est peut-être excessif de les considérer comme un pur jeu de formules, sans intérêt physique, ne correspon- dant qu'à un artifice analylique. En fait, ces équations sonl utilisées; il faut donc savoir dans quelle njcsure on peut y faire des approximations.

La remarque de M. (iuillet ainsi que des remarques fort curieuses faites en séance par M. II. Abraham soulignent, au point de vue des physiciens, le fait que le résultat mathématique f)btenu contredit l'expérience; c'est bien ainsi qu'il a été présenté, non pour mettre en doute les résultats expérimentaux, mais pour mettre en évidence les défauts de certains raisonnements par continuité. Quand au sur- plus de l'observation de .M. Guillet, il semble que tout revienne à définir ce que l'on appelle énergie absorbée; il s'agissait pour M. Borel de l'énergie absorbée par le degré de liberté considéré.

i^s><0 0i. I

NOÏK \ .

SI u IN l'iiiiiii. i:\ii: ni: pitoitAiiii.iTKs (iÉoMÉringiKS.

Cerliiins pliéiioménes physiques (nolainnient rémission des parli- ciiles X (lu radium) (•onduiseiil à étudier un problème de proba- bilités, auquel on peut donner la forme ^'éf>inélrir|ue suivante.

Problème I. — Dcx i)oint:< sont dislrihués au hasard su r une droite indéfinie, de telle manière (juil y en ait en moyenne un par unité de longueur. Quelle est la probabilité pour <juil y en ait préci- sément n dans un intervalle de longueur donnée x'f

Pour résoudre ce problème tlune manière élémentaire et sans

utiliser les propriétés des intégrales eulériennes, supposons d'abord

(jue la droite ne soit pas illimitée, mais ait une longueur très grande L

N et renferme N points; par hypothèse, le rapport -j- tendra vers l'unité

lorsque L augmentera indéfiniment.

Soit C7„ la probabilité pour que l'intervalle donné x renferme n points déterminés parmi les .\ points situés dans l'intervalle total L et pn la probabilité pour que l'intervalle x renferme n points non spécifiés: on a évidemment

N!

Pn = '^11

On peut écrire de même

Pn+\ = ^n-\-l

et l'on en déduit

n\ (i\ — /i)!

n:

( /i ->- 1 ) : ( N — « — I ) :

pn~\ _ ^/>-^i N — n Pn ^t, n -\- 1

Nous allons évaluer le rapport ' ""^ ; désignons par A,, .\^, ... A,„

A„^,, «4-1 points déterminés, par t^„ la probabilité pour que A,, A,, ..., A„ soient dans l'intervalle donné, tous les autres A étant en

loS

NOTK i\. — rkmauqiks <i u i.\ TiiKowii: HKS HKSONATKI us.

dune «'■ncrsi'" .inxiliaiio (in'.uil.mt <|ur celle-ci sera iiitiodiiilc dans le sysléine sous l'une <ic> formes o.s5//;)i7rt/y/«'\ .- par percussion, action continue adjointe a lu pesanteur, etc.

» S'il en était autrement, lénersie considérée serait en dis/ionibi/ité dans le syslènie, n»ais non point absorbée, cest-à-dire répartie sous les foriiii-s actives el ci»nvertibles les unes dans les autres. Ainsi, en aucun cas, l'éi/uation (2) ne saurait avoir un sens p/iysique : s"il s'agit d une localisation, on ne peut faire que le total énergétique du système, el s'il s'agit d'une absorption efficace, l'é- nergie ne saurait être exprimée sous la forme algébrique )7qui n'est jias la forme sous laquelle une énergie assimilée par le pendule peut figurer dans l'bisloire de son niouvemenl. »

M. IIadamaiu» observe que, dans l'exemple cité par M. K. Horel. on opère sur l'équation des forces vives, c'est-à-dire sur l'équation de la dynamique modifiée par multiplication par x'.

On sait que cette multi[)lication (qui est un artifice d'intégration) introduit une solution étrangère : à certains moments, l'équation obtenue cesse d'être équi- valente à l'équation véritable qui régit le pliénomène. C'est précisément à ce moment que s'introduisent d'une part, pour l'équation primitive (X = o), une solution singulière et d'autre part, pour ). -A o. la circonstance remarquable signalée par M. Borel qui est liée indissolublement à l'existence de celte solution.

M. HoREL. à propos des remarques de M. Iladamard, fait observer que, il y a 20 ans, la forme énergétique aurait paru plus naturelle et plus simple que l'équation du second ordre; aujourd'bui, il n'en serait peut-être pas absolument de même, en raison de l'importance attacbée au groupe de Lorentz; les équations énergétiques continuent cependant à jouer un rôle important en Mécanique sta- tistique el dans la tbcorie de l'équipartilion ; il est peut-être excessif de les considérer comme un pur jeu de formules, sans intérêt pliysique, ne correspon- dant qu'à un artifice analyti(jue. En fait, ces équali<jns sont utilisées; il faut donc savoir dans quelle mesure on peut y faire des approximations.

La remarque de M. (iuillet ainsi que des remarques forl curieuses faites en séance par M. H. Abrabam soulignent, au point de vue des pbysiciens, le fait que le résultat malbématiquc obtenu contredit l'expérience; c'est bien ainsi qu'il a été présenté, non pour mettre en doute les résullalsexpérimentaux, mais pour mettre en évidence les défauts de certains raisonnements par continuité. Quand au sur- plus de l'observation de M. Guillet. il semble que tout revienne à définir ce que l'on appelle énergie absorbée; il s'agissait pour M. Borel de l'énergie absorbée par le degré de liberté considéré.

n Q 0 a w-w

'itf*j»»S»^J^'^.mjL,'l

NOTK V.

SIR IN l'iiniii.KMi; m: innitAitii.n Es (.komkihiolks.

Ceilains phénomènes plivsiqnes (notamment rémission des parti- cules 3t (lu radium) conduisent à étudier un problème de proba- bililcs, auquel on peut donner la foime j;éomélri(|ue suivante.

PROBl.tMK I. — Des pointx sont (lislrihués au hasard su f une droite indi' finie, de telle manière qu'il y en ait en moyenne un par unité de loni^ucur. Quelle est la probabilité pour tju'il y en ait préci- sément n dans un intervalle de loni^ueur donnée x'i

Pour résoudre ce problème dune manière élémentaire et sans

utiliser les propriétés des intégrales eulériennes, supposons d'abord

(jue la droite ne soit pas illimitée, mais ait une longueur très grande L

N et renferme .N points; par livpotlièse, le rapport j- tendra vers l'unité

lorsque L augmentera indéfiniment.

Soit d;, la probabilité pour que l'intervalle donné x renferme « points déterminés parmi les .\ points situés dans l'intervalle total L et p,i la probabilité pour que l'intervalle x renferme n points non spécifiés; on a évidemment

_ N!

Pn — ^11 — ttt; ~, '

ni {es — n)\

>«!•

^_>n peut écrire de même

Pn+\ = ^ii^\

et l'on en déduit

Pnj+A Pn

n:

( /« -t- I j 1 ( N

ra„-n N — rt

Nous allons évaluer le rapport ' "^ ; désignons par A,, Aj, ... A„,

Art+i, n -\- \ points déterminés, par C7„ la j)robabililé pour que A,. Aj, . . ., A„ soient dans l'intervalle donné, tous les autres A étant en

dehors et par rn„.,. la proltaliililé pour (\ui' A,. \.,, ..., A„ + ,, soienl dans rinlervalle donno, tous les autres A élanl eu deliors. Dans les

deux cas, les poinl> A), A^ A„ sont dans l'iulervalle, et les

points A„+j, ..., A„ sonl en deliors; la diflTérence enlre les deux, cas est t]ue. [)Our la prohabililé ct„_,.,. le point A,,^, est tlans rinlervalle ./•, tandis que pour la prol»al>ilili'' A„, ce point est dans riiitervalle L — ./• ; on a donc

On en conclut

TU,, 1-	— -'•
/',(+! _ r	N -«
p„ n -r-	l \. — T

Si nous faisons croître L indélinlinent. le rapport — It^nJ vers Puiiité, n et .1 restant lixes, et l'on a. ;i la limite,

Pn n — 1

On conclut de là

Pn = Po j^^

et, comme on a évidemment

il en résulte

V

2jPn = i:

Pn = —e-

n .

On arrive au même résultat d'une manière encore plus simple en faisant subir au problème géométrique une transformation que je vais exposer, car elle peut être utile dans d'autres questions.

Observons d'abord en passant que le problème géométrique pourrait être énoncé en prenant pour base au lieu du continu à une dimension, le continu à 2, 3, ou un nombre quelconque de dimen- sions. (Jn peut, par exemple, prendre l'énoncé suivant :

Problème II. — Elant donnés dans un plan indéfini des points distribués au hasard, à raison d'un en moyenne par unité de surface, quelle est la probabilité pour (ju'il y en ait précisément n dans un domaine D d'aire donnée xi

Au sujet de ce problème, on peut observer incidemment que si la

SI u i\ l'Hoiii.KMi; or: I'Uoiiabii.itks gko.mktuio» ks- mi

foi iim; (lu (liiMiJiine I) e^l Mippo-t'e ;il)suliiiiieiil iiidcltM iniiifi-, on ii'allère pas la f^éiiéralilé en Mipposaiil la (li^liii)ulion <Jes puinis ré{;iilit'i-e, par exemple, aux >(tmim'ts d'un qtiadrilliii^'t'.

<^)iril >"agisse d'ailleurs du proldérne linéaire ou du pr<il)l<"ine plan, nous pouvons décomposer It; doinaini' I) d'i-lend!!!' .z- en N domaines

d'élendue— ; si l'on fait noîiie N indélinimenl. la proljal)ilité pour

qu'un de ces domaines partiels puisse renfoiiner plus diiii point, deviendra né^rli^eable pour i\ infini.

La probabilité pour (piil y ait un point dans le domaine d'étendue -jt

est évidtMuruenl ^ lorsque N est ainsi très grand, et la probabilité

pour (]u'il n'v en ait aucun e-l la probabilité complémentaire à

1 unile, c esl-a-dire i — — •

Pour qu'il v ait précisément n points dans le domaine D

d'étendue x, il faut et il suffit (|ue n des N domaines partiels :j^

renferment un point et que les .N — n autres n'en renferment aucun, si l'on suppose spécifiés les n domaines partiels qui doivent renfermer un point, celte probabilité est

(SJ ('-NJ •

N! Mais les // domaines peuvent être choisis de C\ = — ; — r ;

' // : ( \ — fi \ .

manières dinférenles et ces choix divers conduisent à des hypothèses qui s'excluent mutuellement; la probabilité totale est donc

3: \ >' -« \ ( N — I ) . . . ( N — « — i)

(l)"(-^)-

ce qui donne bien, pour .\ inliiii, la valeur déjà trouvée

Désignons par />„ celte probabilité et supposons qu'une grandeur u prenne la valeur //„ lorsque l'événement auquel correspond celle probabilité /?„ est réalisée; la valeur moyenne de ii sera par déli- nilion

u = y: Pull n-

Lorsque jc augmente indrliniment. // tend évidemment vers la

11'. NOTE V. — SIR IN PRORLKME DE IMIOUVBILITKS GKOMKTRIQUES.

limite de //„, si //„ leiul vers une limite pour u infini. Mais il peut arriver que n„ ne tende vers aucune limite et que u tende cependant vers une limite pour jr inlini. (^.etle limite est alors ce que j'ai appelé la limite i^énéraliscf de //„ dans mes recherches sur les séries diver- 5;entes sommables par la méthode de sommation exponentielle.

En d'autres termes, si une quantité variable //„ dépend du nombre ii de points se trouvant dans l'intervalle ./•, la limite de la valeur moyenne de u„, lorsque .r augmente indéfiniment, peut exister alors que 1/^ ne tend vers aucune limite pour n infini.

Mais je ne puis insister ici sur le détail de la méthode de somma- lion exponentielle, que j'ai exposée dans mes Leçons sur les séries divergentes.

NOTK VI.

LA riNÉMATIOlE DANS I.A TlIlKMtli; DE I.A KKI, ATI VITK ( ' ).

J'ai reçu récemment de M. Varicak une réclamation de priorité, dailleiirs très comtoise, à propos du deuxième paragra|)he de ma Note sur 1(1 ihi'oric de la relalkité et la cinêinaLi<iue ("■^). J'aurais dû, en efTet, si je les avais connues, mentionner les publications oii M. Variéak utilise la géométrie de Lobatcliefski pour l'élutle de la cinématique dans la lliéorie de la relativité. Je suis très heureux d'avoir l'occasion de réparer celte omission (^). Je voudrais en même temps préciser ce qui distinj;ue, à ce qu'il me semble, le point de vue cpiej'ai adopté.

Je n'insisterai pas sur les avantages du langage Aq l'espace cinéma- tique (*), bien que ce langage facilite singulièrement les applications du genre de celles (|ui sont indiquées dans les derniers paragraphes de ma Note citée. La forme que j'ai donnée au théorème d'addition des vitesses n'est pas en effet nouvelle seulement par le langage, mais surtout par la symétrie des notations. Ce point ne paraissant pas avoir été bien compris, faute sans doute d'explications suflisantes. je vais tâcher de l'élucider de mon mieux.

La théorie de la relativité suppose la contraction de Loreniz, c'est- à-dire le fait que les observations faites sur un système ne donnent

(') Comptes rendus, t. 157, 27 octobre 1910, p. 70J.

(-) Voir plus liant, p. ")i-t'(.

(^) Ueber die nichteuclidische Interprétation der lielativtJieorie (Conférence faite à Kyrlsrulie le 'j6 septembre 191 1 : Jahresbericht der deutschen Mallie- matiker Vereinigung, t. XXI, 1912, p. io3). M. Varicak avait d'ailleurs nntc- rieurcinent publié des Notes dans la l'hysikalische Zeitscliri/l, février et avril 1900 et aussi un travail en langue serbe à la lin de 1910. M. Alfred Hobb est arrive de son côté à des résultats analogues dans Optical Geonietry 0/ mention ; a nav view of the tlieory of relativity, Cambridge, 191 1.

(*) Cette expression a été adoptée par M. Kiniosuke Ogura dans sa Noie On the Loreniz Transformation witli some geometrical Interprétations {Science fieports of the Tohoku Impérial LIniversity, Vol. II, n° î, u)i3). M. Ogura, qui se réfère cependant à ma Note, ne parait pas avoir vu tous les avantages de la forme symétrique que j'ai adoptée; il reproduit, en effet, l'énoncé dissymétrique dont je vais parler tout à l'Iieure.

B. 8

11^ NOTK M.

pas les mômes résultais, siiivanl «|iie les observateurs sonl en repos ou en mouvemoiil par rapport au svslt'uie observé. Si l'on adniol ce point de départ, il me semble évident (|u"on devra s'ellorrer, poiira\oir des énoncés cohérents et exempts de |)étitions de principes, de ne faire intervenir dans les énonces que des mesures faites, dans chaque système, par des observateurs liés au système. C'est j)Ourquoi l'énoncé, souvent reproduit, d'après lequel la direction de la résul- tante de deux vitesses dépond de l'ordre dans lequel on les compose, me parait défectueux. Bien entendu, je ne prétends pas qu'on ne puisse pas faire des conventions de langage telles que cet énoncé soit correct; mais ces conventions de langage ne me paraissent pas les meilleures, car elles risquent de conduire à des confusions.

Voici comment se pose, à mon avis, le problème de la composition des vitesses dans la théorie de la relativité. Etant donné un système A^ par rapport auquel on a mesuré les vitesses de deujc systèmes B et C, déterminer, au moyen de mesures faites à l'intérieur des systèmes B et C, la vitesse d'un quatrième système T) par rapport à A. Le pro- blème est résolu par la remarque qu'il existe un tétraèdre ABCD dans l'espace à courbure constante négative (courbure égale à la vitesse de la lumière), tel que les longueurs des arêtes soient les vitesses vraies relatives^ les angles en A, par exemple, étant les angles que font entre elles les vitesses AB, AC, AD, pour l'observateur lié à A.

Il est clair que si l'on donnait seulement la vitesse de B par rapport à A (mesurée dans A) et les vitesses de D et de A par rapport à B, ainsi (|ue leur angle (mesurés dans B), on ne pourrait pas en déduire la position exacte dans A de la vitesse de D par rapport à A; on connaîtrait en efTel seulement la valeur absolue de celle vitesse et l'angle qu'elle fait avec la vitesse de B par rapport à A; pour connaître son plan, il faudrait, en outre, admeltre qu'on connaît la correspon- dance entre des plans observés dans B et des plans observés dans A; comme il suffirait d"ulili-er les plans «|ui passent par la vitesse relative de A et de B. celle corre>pondance est ici très simple; mais sa connaissance exige cependant (jue l'on considère des observations simultanées faites dans B et dans A par deux observateurs respecti- vement au repos dans chacun des deux systèmes.

Voici comment on procédera pour éliminer ce genre d'observations: robservateur A fixera dans l'espace A les positions AB et AG des vitesses de B et C par rapport à A. Ensuite l'observateur B mesurera la valeur de la vitesse BD et les angles qu'elle fait, dans l'espace B, avec les vitesses BA et BC ; l'observateur C fera des mesures analogues

i.A < i.M \i \TK)i i; DANS i.v iiiKiiini: m; i.v ni:i.\rivni';. i i5

dans son espace C. I-.a connaissance numérique des mesures faites par les observateurs H et C permettra à l'observateur A, ^'ràce à la règle du tt'traèdre, de fixer en j,'randeur et en p(»sition la vitesse AD. Sous cette forme parfaiteuient symétrique, il ne peut pas être question d'interversion de l'ordre dans lequel sont ajoutées les vitesses. D'autre part, il me semble qu'on yagne beaucoup de netteté en supposant comme nous l'avons fait, que dans clia((ue espace les mesures sont faites par un observateur au repos, et que les divers observateurs n'ont à se communiquer entre eux que les résultats numériques de ces mesures, sans avoir à utiliser un fait géométrique tel que la coïncidence de deu\ plans observés séparétnent dans les deux espaces. Si l'on cherchait à concevoir une vérification expéri- mentale des conséquences cinémaliques de la théorie de la relativité, il semble bien qu'on ne pourrait éviter tout cercle vicieux f|u'en limiliinl ainsi à des transmissions de résultats numériques les com- munications entre des observateurs qui seraient en mouvement les uns par rapport aux autres.

NOTE Vil.

LES THKORIES MOLKCL'I-AIRES KT LES MATHÉMATIQUES ( ' ).

I

Les relations entre les Sciences matliéniatiques et les Sciences physiques sont aussi anciennes que ces sciences elles-mêmes; c'est l'étude des phénomènes naturels qui conduisit Thomme à se poser les premiers problèmes desquels, par l'abstraction et la générali- sation, est sortie la complexité superbe de la science des nombres et de l'espace. Inversement, par une sorte d'harmonie préétablie, il est souvent arrivé que certaines théories mathématiques, après s'être développées en apparence fort loin de la réalité, se sont trouvées fournir la clef de phénomènes auxquels ne pensaient nullement les créateurs de ces théories. L'exemple le plus célèbre de ce fait est la théorie des sections coniques, pur objet de spéculation pour les géo- mètres grecs, dont les recherches ont permis à Kepler, 20 siècles plus tard, d'énoncer avec précision les lois des mouvements des planètes. De même, dans la première moitié du \ix* siècle, c'est grâce à la théorie des exponentielles imaginaires que fut approfondie lélude des mouvements vibratoires, dont l'importance s'est révélée si grande dans la Physique et même dans l'industrie; c'est à cette étude que nous devons la télégraphie sans fil et la transmission de l'énergie par courants polyphasés. Plus récemment encore, on sait quelle a été l'utilité de la théorie abstraite des groupes dans l'étude des idées si profondes et si nouvelles par lesquelles on a tenté d'expli- quer les résultats des expériences capitales de Michelson sur la rela- tivité.

Mais ces exemples, quelle qu'en puisse être l'importance, sont particuliers et se rapportent à des théories particulières : combien plus frappant encore est l'usage universel des formes imposées à la

{' ) Conférence faite à Houston (Texas), à l'occasion de linaiiguralioii de l'Institut Rice ( 10-12 octobre 1912) (fie\,ue générale des Sciences, 00 novembre 1912).

I.KS TlIKOim.S .MOI.KCl I.AIRKS KT I.l'.S M \ I IIi;M\ Tint KS. II7

pensée scienlirKjiie par le i;t''nie des Desciules. des .Newton, des Leibniz. L'emploi des coordonnées reclan;,Milaires et des éléments du (Calcul dillV-rentiel et du (lîdcnl intégral lions est devenu tellement familier (jue nous serions parfois tentés d'oiiMier ipie ces admirables in^tiuments datent seulemetit du xvil* siècle: de même (|ue la théorie des é(|ualiotis auv dérivées partielles date seulemerit du xvili'' siècle; c'est en 17 17 (|ue d'Alembert obtint l'intégrale générale de l'équation des cordes vibrante^, (^est l'étude des phénomènes |)liYsiques qui suggéra les notions de continuité, de dérivée, d'intégrale, d'équa- tion diftérentielle, de vecteur et de calcul vectoriel, et ces notions, par un juste retour, font partie du bagage scientifique nécessaire à tout physicien; c'est à travers elles qu'il inter|)rèle les résultats de ses expériences. Il n'y a évidemment rien de mystérieux dans le fait que les théories mathématiques construites sur le modèle de certains phénomènes aient pu être développées et fournir le modèle d'autres phénomènes; ce fait est néanmoins digne de retenir notre attention, car il comporte une conséquence pratique importante : si de nouveaux phénomènes physiques suggèrent des modèles mathématiques nou- veaux, les mathématiciens devront s'attacher à l'étude de ces modèles nouveaux et de leurs généralisations, avec l'espoir légitime que les nouvelles théories mathématiques ainsi constituées se montreront fécondes, en fournissant à leur tour aux physiciens des formes de pensée utiles. En d'autres termes, à l'évolution de la Physique doit correspondre une évolution des Mathématiques qui, sans abandonner, bien entendu, l'étude des théories classiques et éprouvées, doivent se développer en tenant compte des résultats de l'expérience. C'est dans cet ordre d'idées que je voudrais examiner aujourd'hui l'influence que peuvent exercer les théories moléculaires sur le développement des .Mathématiques.

II.

(l'est sur l'hypolhè'^e de la continuité de la matière que fut créée, à la fin du xviii* siècle et dans la première moitié du xi.V, ce qu'on peut appeler la Physique mathématique classique; on peut prendre comme tvpe des théories ainsi construites l'Hydrodynamique et l'Élasticité. En Hydrodynamique, tout liquide était considéré, par définition, comme homogène et isotrope; il n'en était pas tout à fait de même dans l'étude de l'élasticité des corps solides : la théorie des formes cristallines avait conduit à admettre l'existence d'un réseau périodique, c'est-à-dire d'une structure discontinue; mais la période du rés<;au était supposée extrêmement petite par rapport aux

I l8 NOTE VII.

élémenls de matière physiquement regardés comme des éléments dif- férentiels; la structure cristalline conduisait donc seulement à l'ani- sotropie, mais non à la discontinuité : les équations aux dérivées partielles de TKlaslicilé, comme celles de l'Hydrodynamique, sup- posent la continuité du milieu étudié,

L'hvpothése atomiste. dont la tradition remonte aux philosophes grecs, n'était pas cependant abandonnée; indépendamment de la con- firmation qu'elle trouvait dans les propriétés des gaz et dans les lois de la C'-himie, c'est par elle qu'on était forcé d'expliquer certains phénomènes, tels que la compressibililé des liquides ou la perméabi- lité des solides, malgré la continuité apparente de ces deux états de la matière; mais cette hypothèse était juxtaposée aux théories phy- siques basées sur la continuité; elle ne les pénétrait pas. Les progrès rapides de la Thermodynamique et des théories énergétiques contri- buèrent à maintenir celte sorte de cloison étanche entre les théories physiques et l'hypothèse de l'existence des atomes, si féconde fùt- elle en Chimie. Pour la plupart des physiciens d'il y a un demi-siècle, le problème de la réalité des atomes était une question métaphysique, au sens propre du terme, une question en dehors de la Physique; il importait peu à la science que les atomes existent ou soient de simples fictions et l'on pouvait même douter si cela avait un sens d'affirmer ou de nier leur existence.

Cependant, grâce 'surtout aux travaux de Maxwell et à ceux de Hollzmann, l'introduction explicite des molécules dans la théorie des gaz et des dissolutions se montrait féconde; et Gibbs créait la disci- pline nouvelle à laquelle il a donné le nom de Mécanique statistique. Mais c'est seulement dans ces vingt dernières années que tous les physiciens ont été forcés, par l'étude des radiations nouvelles d'une part, par l'étude du mouvement brownien d'autre part, de considérer l'hypothèse moléculaire comme une hypothèse nécessaire à la Philo- sophie naturelle. Et, plus récemment, l'étude approfondie des lois du rayonnement a conduit à l'hypothèse inattendue de la discontinuité, de l'énergie, ou de l'action. Il n'entre pas dans mon sujet d'exposer les preuves expérimentales grâce auxquelles ces hypothèses devien- nent chaque jour plus vraisemblables; les expériences les plus frap- pantes sont peut-être celles qui ont permis d'observer l'émission des particules a, de sorte qu'on atteint elïeclivement l'une des unités concrètes avec lesquelles le physicien construit le monde sensible, tout comme le monde abstrait des Mathématiques peut être construit au moyen de luiiilé abstraite.

Pour formuler explicitement leurs hypothèses et en déduire des conséquences susceptibles de vérification expérimentale, les théori-

l,i:S TIIKORIKS M0M:<:1 LAIRES KT I.KS MATIIK.M.VTIQUKS. IPj

ciens de la Physique moderne iililisent des symboles malhématiques ; ces syinbnies sont ceux qui onl été créés en parlant de la notion de conlintiité; il n'est donc pas étonnant (|u'il se rencontre parfois des difficultés, dont la plus actuelle est la contradiction au moins appa- rente entre Thypotliése des (pianta et lliypotliése plus ancienne que les pliénoinénos sont régis par des équations diiréientieile^. Mais ces difficultés de principe n'eni|)êclient point le succès de ce fjuon peut appeler les lliéories partielles, grâce auxquelles un certain nombre de résultats expérimentaux peuvent être, malgré leur diver- sité apparente, déduits d'un petit nombre de formules coliérenles entre elles; Temploi des Malliématiques dans ces théories partielles est, le plus souvent, tout à fait indépendant des bases profondes de la théorie; c'est ainsi que, pour bien des phénomènes de rO|)tique physique, les formules sont les mêmes dans la théorie mécanique de Fresnel et dans la théorie électromagnétique de Maxwell; de même, les formules qu'utilisent les ingénieurs électriciens sont indépen- dantes de la diversité des théories sur la nature du courant.

Si j'ai tenu à signaler, bien fju'il soit en dehors de mon sujet, cet emploi de l'outil mathématique comme auxiliaire des théories phy- siques partielles, c'est pour prévenir tout malentendu : il ne me paraît pas douteux que, pendant longtemps encore, aussi longtemps- peut-être que durera la Science humaine, ce seia sous cette forme relativement modeste que les Mathématiques rendront le plus de services aux |diysiciens. Ce n'est pas là une raison pour que nous nous désintéressions des théories mathéniatif|ues générales dont la Physifjue a fourni le modèle, qu'il s'agisse de spéculations sur les é(|uations aux dérivées partielles suggérées par la physique du continu, ou de spéculations statistiques se rattachant à la physique du discon- tinu; mais il doit être bien entendu que les théories mathématiques nouvelles que peut suggérer la discontinuité des phénomènes phy- siques ne sauraient avoir la prétention de se substituer entièrement aux Malhéinaticjues classiques : ce sont seulement des aspects nouveaux, auxquels il convient de faire place à côté des aspects anciens, de manière à accroître le plus possible la richesse du monde abstrait dans lequel nous cherchons des modèles propres à nous faire mieux comprendre et mieux prévoir les phénomènes concrets.

111.

(Test fréquemment une siuiplilicatiou en Mathématiques que de remplacer par l'infini un nombre lini très grand. C'est ainsi que le calcul des intégrales définies est souvent plus simple que celui des

formules sominaloires, el que le calcul des dérivées est généralement plus simple que celui des difl'érences finies. De même, on a été conduit à remplacer l'élude simultanée d'un très grand nombre de fonctions d'une variable par l'étude d'une infinité continue de fonc- tions d'une variable, c'est-à-dire d'une fonction de deux variables. Par une généralisation plus hardie, M. Vito Vollerra a été conduit à définir des fonctions qui dépendent d'autres fonctions, c'est-à-dire, dans le cas le plus simple, des fonctions de lignes, en les considérant comme des cas limites de fonctions qui dépendraient d'un très grand nombre de variables ou, si l'on veut, d'un très grand nombre de points de la ligne.

Ces généralisations diverses ont rapidement acquis droit de cité en Physique nialliéraatique ; l'emploi des équations intégrales, dont les types classiques sont l'équation de \ollerra el l'équation de Fredholm, y est devenu courant. Bien que ces théories soient bien connues de tous, il n'est peut-être pas inutile d'en rappeler brièvement le prin- cipe sur un exemple particulièrement simple; nous comprendrons mieux ainsi quelle est leur signification au point de \ ue auquel nous nous plaçons aujourd'hui.

Considérons un système composé d'un nombre fini de points matériels, dont chacun ne peut s'écarter que très peu d'une certaine position d'équilibre stable. Les équations difiérentielles qui déter- minent les variations de ces écarts autour des positions d'équilibre pourront, sous certaines hypothèses et à une première approximation, être regardées comme linéaires par rapport aux écarts. Si l'on intro- duit de plus l'hypothèse que le système satisfait à la loi de la conser- vation de l'énergie, les équations difTérentielles prennent une forme très simple et classique, d'où l'on déduit aisément que le mouvement peut être considéré comme la superposition d'un certain nombre de mouvements périodiques. Le nombre de ces mouvements pério- diques élémentaires est égal au nombre des degrés de liberté; il est le triple du nombre des points matériels, si chacun de ces points peut être arbitrairement déplacé dans le voisinage de sa position d'équi- libre. Les périodes des mouvements périodiques simples sont des constantes spécifiqties du système, qui ne dépendent que de sa con- figuration el des hypothèses faites sur les forces mises en jeu par sa déformation, mais qui ne dépendent pas des conditions initiales : positions el vitesses; ces conditions initiales déterminent les cons- tantes arbitraires qui figurent dans i'inlégiale générale el qui sont au nombre de deux pour chafjue période : l'intensité et la phase.

Supposons maintenant que le nombre des points matériels devienne très grand et identifions chacun d'eux avec une molécule d'un

I.KS TIIK()Hli:s MOi.Kf l LMKKS KT I.KS M \ TIIIOM \ Uni i:S. I > r

corps solide, d'iiiie l);iire d';icit;r pai' evciiiple; si les livpollièses faites continueiil d'èire vi'rilii'es, et c'esl ce (luoii admet dans la théorie de l'élasticilc, leurs roiiséqiieiices siihsisleronl aussi; nous aurons donc un M()inl)ie 1res i^rand de coiislaMles caractéristiques, cliacuiie de ces coiislanles délinis^ianl une période propre du système. Faisons croître jusqu'à l'infini le nomhre des midécules; le système d'équations dif- férentielles, en nombre iiiliniiueiil uMand. est alors remplacé par un nombre lini d'épiations aii\ dérivées partielles, dont les propriétés fondanieulales s'obtiennent par passage a la limite. Fii particulier, les périodes propres peuvent être déterminées et l'on constate ce fait remar- quable que ces périodes peuvent être calculées avec précision et sans am- biguïté, si l'on a soin de les définir en commençant par les plus longues ; il y a seulement un nombre lini de périodes supérieures à une durée donnée, mais ce nombre augmente indéfiniment lorsque la durée tend vers zéro, l^e raisonnement cjui vient d'être esquissé est le type de ceux auxquels conduit la substitution de la continuité à la discontinuité; en réalité, les considérations basées sur l'existence des molécules n'y jouent qu'un rôle auxiliaire; elles mettent sur la voie de la solution, mais cette solution, une fois obtenue, vérifie rigoureusement les équations aux dériNées partielles de Lamé, équations qui peuvent se déduire aussi bien d'hypothèses énergétiques que d'hypothèses molé- culaires. La théorie moléculaire a donc été un guide précieux pour l'analyste, en lui suggérant la marche à suivre pour étudier les équa- tions du problème, mais elle est éliminée de la solution définitive. D'autre part, nous savons que cette solution ne représente qu'impar- faitement la réalité: nous obtenons une infinité de périodes propres, au lieu d'en obtenir un nombre très grand ; ce nombre réel des périodes est, à la vérité, tellement grand qu'on ne doit peut-être pas avoir de scrupule à passer à la limite et à le regarder comme pratiquement infini; si l'on observe cependant que les difficultés de la théorie du ravonnement noir proviennent précisément des périodes très courtes, et que ces difficultés ne sont pas encore résolues d'une manière entièrement satisfaisante, on jugera peut-être qu'on ne sau- rait être trop prudent dans tout ce qui concerne ces j)ériodes très courtes. C'est pourquoi sans doute un physicien tel que Lorenlz n'a pas jugé superllus les efforts analytiques considérables qu'exige l'élude de la propagation des ondes lorsqu'on introduit explicitement les molécules. Quoi qu'il en soit d'ailleuis, même si la substitution de l'infini au fini est enlièremenl légitime dans certains problèmes, il peut être intéressant de se proposer, au point de vue purement niathémati(jue. l'étude directe de fonctions ou d'équations dépen- dant il un nombre de variables très grand, mais fini.

IV.

La première (liHinillc (|iii se présente. lors«|ii"on veiil cludier des fondions d'un 1res ijrand nombre de variables, est la déHnilion précise d'une telle fonction, j'entends par là une dénnition i/if/ii'i- tlitellc, permeltanl de dislinj^uer la fonction dilinit' de l'infinité des aulres fonctions analogues. Il existe bien des propriétés générales lommunes à tous les èlres matliémaliques d'une certaine catégoiie, indépendamment de la valeur numérique des coefficients; par exemple, toute forme quadratique non définie (c'est-à-dire toujours positive) est égale à la somme des carrés d'autant de fonctions linéaires indépendantes qu'elle renferme de variables. On a parfois cherché à tirer de faits mathématiques de ce genre des conséquences physiques; je dois avouer que je ne puis me défendre de quelque méfiance à l'égard de ce genre de raisonnements; il parait un peu sin- gulier qu'on puisse tirer quelque chose de précis d'une notion aussi générale que celle d'une surface du second degré (disons, pour fixer les idées, d'un ellipsoïde généralisé) dans un espace à un nombre très grand de dimensions. Insistons un peu sur la difficulté qu'il y a à connaître individuellement un tel ellipsoïde : l'équation en peut être supposée réduite à une somme de carrés, par une substitution ortho- gonale, c'est-à-dire les axes restant rectangulaires. TJn tel ellipsoïde exige donc, pour sa définition complète, la connaissance de ce qu'on peut appeler les carrés des longueurs de ses axes, c'est-à-dire d'autant de nombres positifs que l'espace considéré a de dimensions. La ques- tion de savoir si Ion peut considérer comme donnés autant de nombres, alors que la vie d un homme ne suffirait pas à en énumérer une faible partie, est une question qui n'est pas sans analogie avec celle de la légitimité de certains raisonnements de la théorie des ensembles, tels que celui par lequel M. Zermelo prétend prouver que le continu peut être bien ordonné, et qui supposent réalisés une infi- nité de choix indépendants de toute loi, et cependant déterminés dune manière unique. Les avis peuvent différer sur la solution théo- rique de ces difficultés et ce n'est point ici le lieu de rouvrir cette controverse; mais, au point de vue pratique, la réponse n'est pas douteuse : il n'est pas possible décrire ell'ectivement l'équation numérique d'un ellipsoïde dont les axes sont aussi nombreux que les molécules constituant i^-' d'hvdrogène.

Dans quel sens est-il doue possible de parler d'un ellipsoïde numé- riquement déterminé, à un très grand nombre de dimensions? Le procédé le plus simple, au point de vue abstrait, pour définir un tel

Li:s TiiKoiiiKs M()i.i;i:t i.AinKS kt les m vtiii':maih.h ks. I23

ellipsoïde, consiste à Mipposer rpie les lon<;iieurs des a\es sont égales aux valeurs d'une certaine fonction simple pour les \aleurs entières delà variable; on |)eut les supposer tous éj^aux (au(|uel cas on dira <|ue rcllip-oïde se réduit à une >pliére);on peut aussi supposer rpiils ont pour valeurs les nombres entiers successifs dans leur ordre naturel, soil à partir de l'unité, soit à partir de tout autre nombre donné, ou (|u'ils sdiil éijaux aux inverses des carrés de ces nombres entiers, etc. I'>n d'autres termes, on suppose que les longueurs des axes sont toutes déterminées par la connaissance d'une formule assez simple pour être eftectivement écrite, tandis qu'il n'est pas possible d'écrire en'eclivement autant de nombres distincts qu'il }' a d'axes.

Un autre procédé, auquel on est naturellement conduit par les analogies avec la théorie cinétique des gaz, consiste à supposer que les valeurs d'une fonction des axes telle que le carré des longueurs des axes, ou de leurs inverses, etc., ne sont pas données individuel- lement, mais qu'on connaît seulement la valeur moyenne de celle fonction, et la loi des répartitions des autres valeurs autour de celte moyenne. On se propose, dans ces conditions, non d'étudier les pro- priétés d'un ellipsoïde unique bien défini, mais seulement les pro- priétés les plus probables de l'ellipsoïde, sachant seulement qu'il satisfait aux conditions imposées; on peut dire aussi qu'on étudie les propriétés niovennes de l'ensemble des ellipsoïdes définis par ces conditions. Ici encore, on peut observer que l'ellipsoïde probable ou l'ellipsoïde moyen est entièrement défini par la connaissance de la valeur movenne et de la loi des écarts; si celte loi est la loi classique des probabilités, elle renferme seulement deux constantes ; si l'on était conduit à introduire une loi plus compliquée, celle loi pourrait en tout cas être explicitement écrite. Les deux procédés que nous avons indiqué sont donc équivalents au point de vue analytique; il en serait évidemment de même de tous les autres piocédés (ju'on pour- rait imaginer, et notamment des combinaisons de ces deux-là.

\in somme, une ligure qui dépend d un nombre extrêmement grand de paramètres ne peut être considérée comme numéri(|uemeMt déter- minée que si ces paramétres sont définis au moven de données numé- riques assez peu nombreuses pour nous être accessibles. C'est pour celte raison que l'étude des figures géométriques dans un espace à un nombre extrêmement grand de dimensions peut cot)duire à des lois générales, si l'on exclut de cette étude celles de ces ligures qu'il est humainement impossible de définir individuellement.

Voici, par exemple, quelques-uns des résultais auxquels on est conduit par l'étude des ellipsoïdes. En écrivant l'équation sous la forme d'une somme de carrés, le second membre étant réiluit à l'unité.

12^ NOTE VU.

les coefficients sont égaux aii\ inverses des carrés des axes. Si la inoveiine des carrés de ces coeflicieuls est du mèiiie ordre de gran- deur que le carré de leur moyenne, on dii'a que l'ellipsoïde n'est pas très irrégulier. Les n>odes de définition dont nous avons parlé tout à riieure conduisent à des ellipsoïdes qui ne sont pas très irrégidiers, du moment qu'on n'introduit pas svstématiquement dans ces défini- tions des fonctions choisies exprés d'une manière compliquée. On obtient au contraire un ellipsoïde très irrégulier en égalant à une constante la force vive d'un système déformable composé d'un très grand nombre de molécules, cette force vive étant écrite sous la forme classique de la somme de la force vive de translation de la masse totale concentrée au centre de gravité, augmentée de la somme des forces vives des molécules dans leur mouvement relatif par rap- port à ce centre de gravité; la grande irrégularité provient de ce que les produits de la masse totale par les trois composantes de la vitesse du centre de gravité sont extrêmement grands par rapport à tous les autres tern)es. Lorsqu'un ellipsoïde n'est pas très irrégulier, plusieurs de ses propriétés permettent de Tassimiler à une sphère, qu'on peut appeler la sphère médiane; la surface de l'ellipsoïde est comprise presque tout entière entre les surfaces des deux sphères très voisines de \a sphère médiane : d'autre part, un point étant choisi arbitrai- rement sur l'ellipsoïde, il est itjfiniment probable que la normale en ce point passe extrêmement près du centre.

Celte étude géométrique des figures à un nombre très grand de dimensions mérite, je crois, d'être approfondie; elle met en évidence les bases abstraites des théories de Mécanique et de Physique statis- tiques, c'est-à-dire permet de distinguer parmi les propositions auxquelles sont conduits les physiciens, celles qui sont une consé- quence des hypothèses physiques de celles qui dérivent seulement des hypothèses statistiques. Mais, indépendamment de son utilité physique, cette étude géométrique des espaces à un nombre très grand de dimensions présente un intérêt propre; c'est aux théories moléculaires que nous sommes redevables de cette branche nouvelle des Mathéinaliques.

V.

On peut toutefois se demander s'il est légitime de regarder comme liée à riiypothèse moléculaire une théorie (jui doit, en définitive, ne dépendre que d'un petit nombre de constantes. Dire qu'un ellipsoïde à un très grand nombre de dimensions est entièrement défini par cinq ou six constantes, c'est dire que toutes les conséquences qu'on déduira de son étude seront exprimables au moyen de ces cinq ou six

LES TiiKoniEs m()I.K(:llaiiif:s kt li;s m atiikmatiques. 17.5

constantes. Ne peut-on supposer alors qu'il sera possible d'imaginer un mécanisme analytique permettant d'obtenir ces mêmes consé- quences, exprimées au moyen des cin(| ou six constantes, sans qu'il soit nécessaire de faire intervenir l'iMiuation à un très grand nombre de termes, c'est-à-dire sans qu'il soit nécessaire d'utiliser riivpollièse moléculaire.

Celte objection mérite qu'on s'y arrête, bien (ju'elle rappelle la querelle des énergélistes et des aloniistes, querelle dans laquelle les atomisies paraissent bien avoir eu le dessus. On peut y répondre tout d'abord par un argument de fait : il importe peu que nous puissions concevoir la possibilité, sans utiliser les liypollièses moléculaires, de relier entre elles les conséquences de ces hypothèses; l'important est de savoir si cette possibilité est actuellement réalisée ou si, au con- traire, ce sont des calculs basés sur les hypothèses molécuhiires qui conslitiienl le mode do dédurlioii le plus simple, sinon rMni(|iie : si cette dernière alternative est évade, et il semble difficile de le nier, les hypothèses moléculaires sont donc bien actuelieiuent nécessaires, et cela seul doit nous importer.

Sous cette forme modeste, qui réserve l'avenir, cette réponse paraît péremploire; mais je crois que bien îles physiciens ne la jugeraient pas assez catégorique. Il faut observer cependant que la question est indé- pendante des preuves expérimentales de la réalité des molécules; arriverait-on à voir par un instrument plus puissant que le microscope les molécules d'un corps solide, il n'en résulterait pas, si précieuse que fût cette connaissance, que l'on dût s'en servir pour rendre compte de la manière la plus simple des propriétés de ce corps ; c'est ainsi que la possibilité de voir isolément un microbe sous le microscope n'est pas une condition indispensable de l'atténuation des virus et de l'emploi des vaccins; de même, dans la reproduction par la photogravure d'un tableau de maître, ce n'est pas la connaissance individuelle des points constituant le cliché qui nous intéresse ( ' ).

Au point (le vue abstrait, si l'on admet que toute théorie humaine doit s'exprimer, en ilernière analyse, au moyen d'un nombre fini rela- tivement petit de données, il semble difficile de nier la possibilité de

(') Celle connaissance individuelle des points intcrvienl dans les procédés de transmission à distance du cliché: mais ici ces poinls, ([uoique nonnbreux, sont cependant, en nombre fini, accessibles à notre observation. Si l'on transmet par le téléplionc un morceau d'orchestre, nous savons (|ue toutes les beautés esthé- tiques du nuirciau résultent, en délinitive, de certaines vibrations qu'il serait trop long de connaître individuelieruenl ; mais, en fait, ces vibrations élémentaires n'ont rien à voir avec l'esthétique musicale; un excellent compositeur de musique peut en ignorer l'existence et un excellent physicien peut être un musicien détestable.

I >(» NOTK Ml.

coiisliluer enlièremenl la théorie sans faire inlervenir d'Iiypolhèses impliquant re\isleiice d'éléments dont le nombre dépasse ce que rima^iniilion de l'homme peut concevoir. Mais la constatation de cette possibilité abstraite ne saurait prévaloir contre l'importance des ser- vices rendus par les théories moléculaires en reliant entre eux des phénomènes en ap|)arence sans atirnu iii'ii; aussi est-il permis de considérer ces réserves sur les possibilités de l'aviMiir comme une simple clause de style.

Kst-il possible d'aller plus loin cncDre, et de supprimer même toute réserve de ce genre? Pour répondre à celte question, il faudrait examiner en détail tous les |)hénoménes qu'on explique au moyen des hvpolhèses moléculaires et chenher à se rendre compte si un nombre ext reniement grand de paramètres est véritablement nécessaire à cette exidicalidii. Parmi les phénomènes discontinus dont les lois ex|>èrimenlales sont bien connues, les plus caractéristiques sont ceux des spectres en série; on sait que les positions des raie^ spectrales sont déterminées, avec une très grande précision, par des formules dont la première et la plus simple, due à Balmer, renferme la difie- rence des inverses des carrés de deux nombres entiers; c'est peut-être là l'exemple le plus remarquable de l'intervention du nf)mbre entier dans une loi naturelle; si les lois de ce genre étaient plus nombreuses et mieux connues, on serait peut-être conduit à citer l'Arithmétique et la Théorie des nombres parmi les branches des Mathématiques que Ton peut rattacher à la Physique moléculaire. Peut-on, par induction, admettre que la formule de Balmer est exacte, non seult-menl pour les petits nombres entiers pour lesquels la vérification expérimmlale est rigoureuse, mais pour beaucoup d'autres nombres entiers plus élevés pour lesquels cette vérification est impossible'? Et, s'il en est ainsi, n'est-ce pas là un des phénomènes discontinus dont l'explication exige un très grand nombre de paramètres ? Il ne le semble pas : d une part, la formule, avec l'entier variable, ne contient précisément qu'un petit nombre de constantes ; d'autre part, les tentatives faites pour expliquer la présence de cet entier par des hvpolhèses de discontinuité physique ont conduit à placer cette discontinuité à l'intérieur de l'atome lui- raême; il n'est donc pas besoin d'un nombre très grand d'atomes : il en suffit d'un seul, dont la structure ne dépend que de certains para- mètres, de magnétons dans la théorie de Kilz, paramètres dont le nombre est loin d'être de l'ordre de grandeur du nombre de^ atomes.

Cette remarque nous conduit à envisager une autre catégorie de phénomènes, auxquels nous avons fait déjà allusion, et dans les(|uels les atomes ou corpuscules sont observés individuellement; l'exjjlication de ces phénomènes n'exige-t-elle pas les hypothèses atomic|ues? Il

I.KS THKOIUF.S MOI.KCl LAIIIKS ICT I.KS M ATII KM \ llol KS. I27

seinljle diflirile de le nier sans piiradove; obseivdiis ccpi-ndanl que les pliéiionièiies tels (jiie rt'-inissiitti des parliniles a ne sont siisceplibles que d'une explication i;l(d>iilc; il n'esl pas possild(! de prévoir avec précision une émission déleinii née, mais seulement un nombre moyen ; c'est donc seulement re nombre moven (|ui existe sf;ienti(ic|uement ; le phénomène qui consiste en rémission iV une particule a ne présentt; pas les caractères (pii j)eiineltenl re\[)erimentation li^oureuse : on ne sait, ni le |)révoir, ni le reproduite à volonté; c'est seulement l'étude de la trajectoire a/>rrs l'émission (|ui présente ces caractères; et en effet cette étude n'exige que des équations en nombre assez restreint pour (|u'on puisse les inscrire toutes. Les hypothèses atomiques permettraient de prévoir chaque émission individuelle, si l'on pouvait effectivement calculer sur un nombre extrêmement grand d'équations; mai■^ cela n'est pas possible; et. en ce qui concerne la prévision glo- bale, riiypothése atomique n'est pas, du moins a priori, nécessaire.

Nous touchons ici aux frontières de la Science, puisque nous attei- gnons des phénomènes accessibles à notre observation et qui dépendent de causes trop nombreuses pour qu'il nous soit possible de connaître avec précision toute leur complexité. La science ne reste possible que pour les valeurs moyennes qu'on peut calculer avec précision au moyen de données accessibles à l'observation.

On a bien compris, je pense, que je ne conteste pas la légitimité et l'utilité des théories moléculaires; mes remarques de mathématicien ne sauraient atteindre la réalité physique; elles se réduisent au fond à ceci : tous les calculs qu'on pourra jamais réellement effectuer comprendront seulement un nombre assez faible d'équations effective- ment écrites: si l'on écrit une équation et si l'on ajoute que l'on con- sidère (|ueiques milliards d'équations analogues, on ne calcule pas, en fait, sur ces équations non écrites, mais seulement sur l'équation écrite, en tenant compte peut-être du nombre des équations non écrites, tiomhre qui aura aussi été écrit. Toute théorie mathématique se réduit donc à un nombie relativement faible d'équations et de calculs, portant sur un nombre relativement faible de symboles et de constantes numériques; il n'est donc pas absurde «f /^r/o/v de supposer qu'on puisse imaginer un modèle physique renfermant aussi un nombre relativement faible de paramètres et conduisant aux mêmes équations. Aussi longtemps toutefois que ce modèle ne sera pas ima- giné, et il ne le sera peut-être jamais, les recherches analytiques ou géoméli i(|ues sur les fonctions d'un nombre très grand, mais fini, de variable^, pourront présenter de l'intérêt pour les physiciens.

138

VI.

Nous avons déjà fail observer que o'esl un prorédo courant en Ma- tliémaliques de remplacer le fini 1res grand par l'infini. Que donne ce procédé lorsqu'on l'applique au\ phénomènes phvsi()ues discontinus, dont la complexité semble liée au nombre très grand des molécules? Tels sont, par exemple, les phénomènes de mouvement brownien qu'on observe lorsque des particules très fines sont en suspension dans un liquide en apparence au repos complet. Ces phénomènes rentrent dans la catégorie de ceux dont nous parlions il y a un instant, pour lesquels une prévision statistique seule est possible.

Peut-on construire une image analvlique? On a déjà fait remar- quer (') que les trajectoires observées dans le mouvement brownien suggèrent la notion des fonctions continues sans tangente. Si l'on observe ces trajectoires avec des instruments optiques de plus en plus perfectionnés, on voit, à chaque nouveau grossissement, des détails nouveaux, l'arc de courbe qu'on aurait pu tracer se trouvant rem- placé par une sorte de ligne brisée dont les côtés font entre eux des angles finis; il en est ainsi jusqu'à la limite des grossissements actuel- lement réalisables. Si l'on admet que le mouvement est produit par les chocs des molécules contre la particule, on doit en conclure qu'on obtiendrait, avec un grossissement suffisant, la forme exacte delà tra- jectoire, qui se présenterait sous la forme d'une ligne brisée aux angles arrondis et qui ne serait plus sensiblement modifiée par un grossisse- ment plus fort.

Mais il n'est pas interdit à l'analyste de reculer indéfiniment par la pensée loblenlion de cet état définitif et d'arriver ainsi à la conception d'une courbe dans laquelle les sinuosités deviennent de plus en plus fines à mesure qu'on emploie un grossissement plus fort, sans qu'on atteigne jamais les sinuosités dernières : c'est bien là l'image géomé- trique d'une fonction continue n'admettant pas de dérivée.

On obtient aussi une courbe de même nature, mais assez particulière pour mériter qu'on s'y arrête, lorsqu'on étudie la fonction que Boitzmann désigne par H et Gibbs par r,, et qui représente, dans le cas d'un gaz, le logarithme de la probabilité d'une répartition déter- minée des vitesses des molécules. Chaque rencontre entre deux molé- cules donne une variation brusque à cette fonction, qui se trouve ainsi représentée par une courbe en escalier, les projections horizon- tales des marches de l'escalier correspondant aux intervalles de tenops

('; Jean pEitRix, La Discontinuité de la nialicre (fievue du mois, mars 1906).

LKS THÉORIKS MOLK^f L» IRKS ET I.FS M ATIIÉ.M ATIOI'ES. IV<)

(|iii st'jiaitMil (leu\ chocs consécdlif- ; le noinhie des rhocs siiliis par iiiu' riioltrul(! iH;ml de (|iiel(|iios iiiillinrds [);ir seconde (c'est-à-diie de rordif de ^liiiideiir de lo') el If iioinhie des molécule^ de Tordre de griiiideiii- de lo-' (si Ton considère une niasse de (|iiel(|ue> <;rainiiies de \i»7.), le nombre totd/ des chocs par seconde eslde Tordre de gran- deur de lo^'; tel est le nombre des marches de l'escalier se projetant sur une portion de Taxe des abscisses égale à l'unité, si la secoride est prise pour unité de temps ('). Ce que considèrent les physiciens, c'est Talliire moyenne de la courbe : ils remplacent la courbe en escalier par une courbe plus régulière, ayant la même allure moyenne dans des intervalles de temps très petits par rapport à la seconde, mais Irèe grands par rapport à lo^'* seconde.

<^es considérations diverses apportent à l'analyste des suggestions intéressantes, sur lesquelles je voudrais m'arrêter un instant.

Tout d'abord, au sujet de ces courbes continues sans dérivées dont le mouvement brownien nous a donné l'image, le passage du (ini à Tinlini doit-il conduire à une courbe pour laquelles tous les points sont des points de discontinuité, ou à une courbe qui admet une infi- nité de poitils de discontinuité, mais aussi une infinité de points de continuité? Pour bien com|)rendre la question, il est nécessaire de rappeler brièvement la distinction capitale entre l'infini énnmèrable et Tinlini continu. Un ensemble infini est dit énnmèrable si les termes en peuvent être numérotés à Taide des noinl>res entiers; tel est le cas pour Tensemble formé pai' les termes d'une série simple ou multiple; on peut citer aussi comme ensemble énumérable Tensemble des nombres rationnels. Au contraire, Tensemble de tous les nombres compris entre o et i, commensurables et incotnm ensurables, n'est pas énumérable; on dit que cet ensemble a la puissance du continu. Si Ton définit une fonction discontinue par une série dont chaque terme admet un point de discontinuité, Tensemble de ces points de discon- tinuité est énumérable comme les termes eux-mêmes. l*eut-on définir une fonction qui soit totalement discontinue, c'est-à-dire dont les points de discontinuité soient tous les points d'un ensemble continu, et non pas seulement ceux d'un ensemble énumérable? Il est aisé, semble-t-il. d'imaginer une telle fonction ; telle est la fonction souvent étudiée qui est égale à i si x est commensurable et à a: si a: est incom- mensurable; cette fonction est bien discontinue, tant pour les valeurs

(') Celle disronlinuilé suppose, bien erilendii. que Ion considère la durée d'un ciioc comme plus courte que rinlervallc moyen de deux chocs (dans toute la masse), hypothèse diffirilcmenl admissible. Le schéma auquel (diuliiil crtt<' hypo- thèse n'est pas moins inléressanl au point de vue analytique.

H 0

13'» NtlTK VII.

commensiirablos que pour les valeurs incommensurables. Si l'on y rei^arde de plus près, on s'aperçoil que la clisronlinuilé n'esl pas de iiu-nie n;iture en ees points; on d(»il observer, en ellel, <|ue les nombres commensurabies occupent inllniment uioins de place sur l'axe des .c que les nombres incoiiiiiiensund)les; rensemble de ces nombres coin- mensurables est de me>ure iiidle, c'csl-ii-dire peut cire enfermé à rintérieur d'intervalles dont l'étendue totale esl inférieure à tout nombre donné à l'avance. Pour parler un langai;e plus concret, si Ton choisit un nombre au hasard, la probabilité pour qu'il soit commen- surable esl égale à zéro ( ' ). On conclut de là que la fonction égale à x j)our les valeurs incommensurables de la variable esl, en moyenne^ continue pour ces valeurs incommensurables quelles que soient ses valeurs pour les valeurs commensurables, c'est-à-dire que si l'on choisit, au voisinage d'une valeur incommensurable donnée, pour la(]uelle on étudie la continuité, une autre valeur au hasard, il esl intinimenl probable que celte valeur choisie au hasard sera, elle aussi, incommensurable; il esl donc infiniment probable que la variation de la fonction sera infiniment petite en même temps que la variation de la variable.

Celte remarque permet de comprendre qu il iTail pas été possible de définir analvliquemenl une fonction pour laquelle tous les points soient effeclix emenl des points de discontinuité totale; c'est seulement en des points déterminés d'après la définition de la fonction, el jouant un rôle particulier dans celle définition, que la fonction esl elTeclive- menl discontinue en moyenne.

Le passage du fini à l'infini, lorsqu'il s'agit des discontinuités des fonctions, ne s'efleclue donc pas de la manière qui est la plus usuelle en Physique malhémalifjue classique, où la matière esl supposée con- tinue, el où l'on remplace le fini par le continu : nous sommes conduits à concevoir un procédé dilTérent, qui paraît d'ailleurs plus en harmonie avec la conception moléculaire el qui consiste à remplacer le fini très grand par l'infini énumérable.

Voici comment se présente, à ce point de vue, la généralisation analytique des courbes telles que les courbes H. Considérons un nofiibre écrit sous forme de fiaction décimale illimitée el imaginons que les chiffres qui suivent la virgule soient groupés en tranches suc- cessives, chaque tranche renfermant beaucoup plus de chiffres que la

(') l'our se donner lui nombre au liusard, on peut convenir de clioisirau hasard les chiffres successifs de la fraction décimale qui lui est égale; la probabilité pour que celle fraction dérimalc soit iiiniléc ou périodique esl évidemment égale à zéro.

LES THKOniKS MOI.Kf:i'I.AIRES ET LES MATHEMATIQUES. lil

précédente. A cha(|iie liMiiclie nous ferons correspondre un lerme d'une série, re leiine élanl é^^al à zéro si dans la Iranclie correspon- dante le lapporl du iionilire des cliillVes pairs au nombre des cliiUres impair> e>l conipiis entre o,4 et 0,6, tandis que si ce rapport n'est pas conipris entre ces limites, le terme correspondant à la tranche est égal au terme de même rang d'une certaine série conveigente à termes positifs. Il est clair que, si les longueurs des tranches successives croissent rapidement, il est infiniment probable qu'un petit nombre de tranches seulement fourniront des termes dillérenls de zéro; par suite, la série cjui correspond au nombre décimal sera limitée; cette série limitée a une certaine somme qui reste la mètne tant que le nombre décimal varie assez peu pour que la dernière des tranches f|ui fournissait un lerme à la série ne soit pas modiiiée; du moins, dans l'intervalle ainsi défini, il est extrêmement probable que la fonction correspondant au nombre décimal conserve cette valeur constante bien déterminée, c'est-à-dire est représentée par un trait horizontal; cependant, il y a dans cet intervalle, comme dans tout intervalle, des nombres décimaux particuliers |)our lesquelles certaines tranches de rang élevé, peut-être même une inimité de telles tranches, sont irré- gulières au point de vue de la distribution des chiffres pairs et des chiffres impairs; il y a donc des intervalles extrêmement petits et extrêmement rares en moyenne, mais cependant partout denses, dans les(|ueis la courl)e s'élève au-dessus du trait horizontal qui la figure en général. En l'un de ces points, qu'on peut appeler niaxima de la courbe, il est extrêmement probable que, si l'on prend au hasard une valeur voisine de la variable, la fonction diminue, c'est-à-dire que ce point a, en movenne, le caractère d'un maximum en pointe.

Dans l'exemple précédent, les maxima sont représentés par des intervalles de plus en plus étroits, mais finis; on peut, en modifiant légèrement la définition, obtenir une courbe qui coïnciderait partout avec l'axe des a-, sauf eu des points ne remplissant aucun intervalle; il suffit de convenir que, dans la série que nous venons de définir, on reni|)lace par zéro tout terme qui est suivi par une infinité de termes égaux à zéro; la nouvelle série ne pourra donc être diflerenle de zéro que si les termes de la première série sont tous, à partir d'un certain rang, difierents de zéro.

L'étude des modèles analyti(|ues ainsi obtenus conduit à approfondir la théorie des fonctions de variables réelles et même à imaginer des notions nouvelles, telle que la notion de dérivée en moyenne, natu- rellement suggérée ()ar l'exemple physique de la fonction II. Il faut d'ailleurs observer que, dans l'étude tle ces fonctions, la notion d'en- semble continu se combine souvent à la notion d'ensemble énumérable;

i3a M)n: vi.

par exemple, il esl ai'^e «le voir «|iie ronseiiible des nombres décimaux, donl tous les clnlFres sont impairs présente rerlair)s des caractères de Pensemble de tous les nombres décimaux; il a, comme ou dit, la puissance du C(Mitinu ( ' ), mais il est cependant de mesure nulle.

On peut rattacher aussi à ces considérations la ihoorie des proba- bilités énumérables, c'est-à-dire Tétude des probabilités, dans le cas où, soil l'infinité des épreuves, soit riniinilé des cas possibles est énumérable, élude qui se place entre l'élude des probabilités dans les cas finis et l'élude des jirobabililés continues.

VII.

.Malgré l'inlérèl des problèmes relalif> aux fondions de variable réelle, c'est la théorie des fondions d'une variable complexe qui, depuis les immortelles découvertes de Cauchy, est véritablement le centre de l'Analyse. I/analogie entre la théorie des fonctions que Cauchy a appelées fonctions monogcnes et qu'on appelle souvent fonctions annlvliques et la théorie de Téqualion de Laplace que vérifient les potentiels, est cerlainenjcnl l'une des analogies les plus fécondes de l'Analyse. On sait tout le parti que Hiemann a tiré de la théorie du potentiel et de l'inluilion physique dans ses profondes recherches sur les lonclions de variable complexe.

Il esl donc naturel de se demander quelles idées nouvelles peuvent apporter les théories moléculaires dans ce domaine des variables complexes. Ici encore, nous serons conduits à lemplacer le nombre fini très grand par l'infini énumérable : il est facile de former des séries dont chaque terme présente un point singulier, l'ensemble des termes de la séi'ie possédant ainsi une infinité énumérable de points singuliers. Ces points singuliers peuvent être choisis, par exemple, de manière à coïncider avec tous ceux des points intérieurs à un carré donl les deux coordonnées sont rationnelles. La série la [dus simple qu'on puisse ainsi former se présente sous la forme de la somme d'une série de fractions dont chacune admet un pôle unique, qui est un pôle simple, l/inlerprétation physique, dans le domaine réel, d'une telle série, conduit à considérer le potentiel d'un système formé d'une infinité de points isolés, la masse concentrée en chacun des points étant finie (ce qui conduit à admettre que la densité en ce point est infinie, si le point est considéré abstraitement comme un siniple point

( ' ) Si, dans un nombre décimai dont tous les chiffres sont impairs, on remplace respeclivemenl ces chiffres i, 3, 5, 7, 9 par les chiffres o, i, 2, 3, 4» on peut con- sidérer le nombre comme un nombre ^Me/co/i^we écrit dans le système de base 5.

I

I.i:S TIlKOniKS MOLKCUI.AIRKS KT I,ES M VTIIKM \ Tlnl' i:s. |33

j;éomi''tiit[iie sans dimensions). On suppose, bien enlemiu, (|ne lu série ()onl les termes sont les viilenrs des masses est convergente, ce (|ui revient à dire qne la masse totale est linie, l)i<'n ipic concentrée en nne infinité de [)oinls distincts, par exemple en tous les points ilont les deux coordonnées seul des nombres rationnels. Le potentiel dont il s'agit. dan> le cas du plan, est ce (jiie l'on appelle \(i polenlie/ lof^a- ritlimiqiic ; on pourrait raisonner d'une manièie analogue dans l'espace à trois dimensions; on aurait alors le potentiel newtonien proprement dil.

L'Iivpotliése (|ue les masses attirantes sotit de simples points ma- tériels sans dimensions est difficile à accepter au point de vue physique; on est ainsi conduit à exécuter l'opération analytique consistant à disperser cette masse dans un petit ceicle (ou une petite sphère) ayant le point pour centre, sans changer le poteiiliel à l'extérieur de ce cercle (ou de celte sphère); nous nommeions ce cercle (ou cette sphère) la splirre d'ucùon du |)oint qui coïncide avec son centre; on en choi>ira le ravoii iPaiitant plus petit (lue la mas>e concentrée au centre sera elle-même plus pelile; de telle sorte que. si la série formée par les masses converge avec une rapidité suffisante, on peut s'arranger de manière (|iie les rayons des sphères d'action forment aus^i une séiie trè^ ra|)idement convergente, et que cependant la densité maximum de la masse attirante soit finie. Il e-t facile aussi, si l'on admet qu'on dispose arhitraiteuieiil tle h répaitition de-^ masses et des densités, de s'arranger de telle manière que la distribution dans chaque sphère d'action s'annule, ain>i que ses déri\ées. sur toute la surface de la sphère; la di-lribiiliou de la densité est ainsi non seulement finie, mais continue dans tout l'espace.

L'hvpolhèse qu'on a faite sur la convergence de la série dont les termes sont les layons des sphères d'action, entraîne la convergence de la série dont les termes sont les projections de ces splières >ur une droite quelconque; si donc on supprime dans celle série un certain nombre des premiers termes, le reste de la série peut être rendu infé- rieur à tout nombre (i'xé d'avance. On en conclut que, dans un inter- valle, si petit qu'il soit, pris sur la droite sui- laquelle on projette les sphères, on peut trouver une infinité de points qui appartiennent au plus à un nombre fini de telles projections, à savoir celle des sphères S qui correspondent aux premiers termes (ju'on a supprimés dans la série pour en rendre le reste inférieur à l'intervalle considéré. Si l'on considère un plan perpendiculaire à la droite et passant [)ar l'un de ces points (ce point étant choisi, ce qui est possible, distinct ties pro- jections des centres en nombre fini des s|)hères S dont on vient de parler), ce plan coupera au plus un nombre fini de ces sphères S, sans

l34 NOTK VU.

passer parleurs centres, mais sera extérieur à tontes les autres sphères (l'action. Il est possible de modifier la distribution de la matière à l'intérieur des sphères S en nombre fini coupées par le plan de manière à remplacer ces sphères par d'autres sphères plus petites qui ne le coupent pas, celle opération ne modifiant pas le potentiel à rextérieur des sphères, et la densité restant finie |)uisque l'opération ne porte que sur un nombre limité de sphères. En résumé, il est possible de Irouver un plan perpendiculaire à une droite quelconque, coupant sur cette droite un segment quelconque donné d'avance et tel qu'en tous les points de ce plan la densité soil nulle. Comme notre fonction poleutielie est définie par une densilé partout finie el continue, cette fonction potentielle satisfait à l'équation de Poisson, qui se réduit à ré(jualioii de Lapiace partout où la den-ilé est nulle, c'est-à-dire en tous les poiiit> des |)laiis (|ue nous venons de tléfiiiir. Il n'était pas inutile d insister sur ce point, car- ces pians peuvent traverser des régions de l'espace dans lesquelles les points matériels donnés sonl partout derises, sonl pur exemple tous les points dont les coordonnées sonl des nombres rationnels; on aurait pu craindre (|u'il n'y eut pas de place libre entre des points en quelque sorte tellement serrés les uns contre les autres; nous venons de voir que celte crainte n'est pas justifiée : le théorème de la théorie des ensembles nécessaire et suffi- sant pour démontrer ce résultat d'une façon rigoureuse est le suivant : Si sur un serment de droite on a une infinité de segments partiels (dans l'espèce, les projections des sphères d'action) dont la longueur totale est inférieure à la longueur du segment^ il existe sur ce segment une infinité de points qui n appartiennent à aucun des segments partiels. Cet énoncé esta peu près évident, et aisé d'ailleurs à démontrer eu toute rigueur.

\)»n< le cas du plan, on remplacera les sjdières par des cercles et le plan perpendiculaire en un point du segment par- une di'oite perpen- (licuhrire ; on prouve aisément f|u'il v a, même dans la réijion oir les points singuliers sont partout denses, des points en lesquels se croisent une infinité de telles droites sur lesquelles la densité est nulle ; en ces points l;i fonction potentielle logarithmique satisfait à ré(|ualion de Lapiace à deux variables. Si l'on étudie d'une manière analogire la fonction d'une variable complexe à pôles denses dans rrne région, on définit dans cette région urre infirrilé de droites de continuité, se croisant dans tous les sens, la fonction admettarrt des dérivées con- tinues sur ces droites, et la dérivée ayant la même valeur dans toutes les directions en chacun des points de croisement de ces droites. Pour exprimer ce fait, nous emploierons l'expression créée par Cauchy pour désigner les fonctions admettant une dérivée indépendante de l'argu-

I.KS TIIKORIKS MOLKCIILAIRES KT l-KS MATIIKMATIQUES. li j

nienl de l'accroissement de la variable; ces fonctions seront dites rnonogènes; mais elles ne sont pas analytiques, si l'on réserve au mot anah'tiqite le sens très précis qu'il possède depuis les lra\au\ de Weierstrass.

Sans m'altarder sur les aiialo^'ies pli\sii|iies suggérées par l'existence (If plans ne coupant pas les sphères d'aclion des masses attirantes, je voudrais insister un peu sur la nature des |)rol)lènies matlièmati({ues posés par l'existence de ces fonctions monogènes non analytir|ues.

On sait (jue la piopriété essentielle des fonctions analyti(|ues est d'être déterminées dans tout leur domaine d'existence, lorsque leurs valeurs sont données dans une portion, si petite soi t-elle, de ce domaine. Cette propriété est-elle une coiiséfjuence de l'analvticité, c'est-à-dire de l'existence de la série de Tavlor à rayon de convergence dillérent de zéro, ou de la monogénéité, c'est-à-dire de l'existence de la dérivée unique? Celte que^tiiui n'avait pas de sens tant qu'on pou\ait con- fondre anaivticité avec monogénéité; elle prend, au contraire, une signification très nette, du moruenl (in'ori a pu construire des fonc- tions monogènes non analvtiques.

Je ne puis entrer aujourd'Inii dans le détail des déductions par lesquels ce problème a été résolu; voici le résultat : l'esl bien la mo- nogénéité (|ui est le caractère essentiel au(|uel esi f<"p la propriété fondamentale des fonctions aMaIytif|nes ; celte propriété fondamentale subsiste pour les fondions monogènes non anah tiques du moment qu'on précise nellemenl la nature des domaines dans lesquels ces fonctions sont considéiées. J'ai proposé d'appeler les domaines satis- faisant à ces conditions précises des <i^omame5 de Cauchy ; un domaine de Caucliv s'obtient en retranchant d'un domaine continu des domaines d'exclusion, analogues aux sphèresd'aclion de loutà l'heure, domaines (|ui peuvent être en nombre infini, mais dont la somme doit pouvoir être supposée inférieure à tout nombre donné ( tout comme les sphères ou cercles d'exclusion considérés tout à l'heure, dont on peut multi- plier les rayons une fois choisis par tout nombre plus petit que l'unité, quitte à faire croître la limite supérieure de la densité en même leujps (|u'on fait décroître les rayons d'exclusion).

La série formée par ces domaines exclus doit, bien entendu, être supposée convergente; on doit supposer de plus que sa convergence est plus rapide que celle d'une série déterminée qu'il est inutile d'écrire ici. Dans ces conditions, qui ne se rapportent qu'au domaine et non à la fonction, tonte fonction qui satisfait dans le domaine de Cauchy à l'équation fondamentale de monogénéité possède la propriété essentielle de la fonction analvtique ; on peut la calculer dans tout son domaine d'existence par la connaissance de ses dérivées en un point

l36 NOTE VII.

(lexislence de la iléri\ée première entraîne lexislence de toutes les dérivées, du moins dans un certain domaine <|ui fait partie du domaine de Cauchy) et ce mode de calcul entraîne la conséquence que. si la fonction monojjéne est nulle sur un arc si |)elil qu'il soit, elle est nulle en tout point du domaine de Caucliv; deux fonctions ne peuvent donc coïncider sur un arc sans coïncider dans tout leur domaine d'existence, au sens génèrali-é.

Je ne puis développer les conséquences de ces résultats au point de vue de la Théorie des fonctions; mais je voudrais, en terminant, vous soumettre quelques réflexions qu'ils suggèrent sur les relations entre la continuité uiatlién)atique et la continuité physique ; ' .

VIII.

La plupart des équations par lesquelles on traduit les phénomènes physiques ont ceitaines propriétés de continuité : les solutions varient d'une manière continue. Cette propriété n'est pas d'ailleurs absolu- ment générale, et il peut se faire que les théories des quanta d'émis- sion ou d'absorption conduiserit à attacher plus d'importance qu'on ne l'a fait jusqu'ici aux cas d'exception; mais je ne veux pas aborder aujourd'hui cette discussion : je m'en tiens à la propriété générale, vérifiée dans un très grand nombre de cas.

Quand on cherche à interpréter cette propriété dans la théorie du potentiel et des fonctions monogènes, on devrait s'attendre, si l'on se borne pour simplifier aux fonctions réelles d'une seule variable, à trouver une sorte de passage continu entre celles de ces fonctions qui sont analytiques au sens de Weierstrass et celles qui sont entièrement discontinues. Or, c'est ce qui n'a pas lieu lorsqu'on ne considère pas les fonctions monogènes non analvliques: du moment qu'une fonction cesse d'être analytique, elle ne possède plus aucune des propriétés essentielles des fonctions analytiques; la discontinuité est brusque. Les nouvelles fonctions monogènes permettent de définir des fonctions de variables réelles qu'on peut dénommer quasi-analytiques et qui constituent en quelque sorte une zone de transition entre les fonctions analytiques classiques et les fonctions qui ne sont pas déterminées par la connaissance de leurs dérivées en un point. Cette zone de transition mérite d'être étudiée; c'est souvent l'élude des formes hybrides qui

(') Pour plus de détails sur les problèmes inalliémaliques signalés dans ce paragraphe et le précédent, on pourra se reporter aux publications suivantes : leçons sur la théorie des fonctions ( Gaulhier-Viilars, iSi,8, deuxième édition, 191 4). Définition.

I.l..> llll.iiltll.> MOLKCl I.AIHi:s F.r 1,KS MATIIKMATIOIKS. I J7

rt'iiseiy;ii<' le iniciiv sur (•crl.iiiif-. [iidiiriiUr-s des espèces nelleiiienl lianchées.

(Jii voil que les puiiils de coiilacl entre la l'Iivsiqiie moléctilaire el les M:itliéiiiati(|iies soiil liDrnbreuv ; je n'ai pu indiquer (|ue rapidement les principaux d'enlrc eux . Il n'esl pas de ma compélence de me deman- der si les physiciens pourront tirer un [jrofit immi'dial de ces analogies ; mais je suis convaincu f|ue les mathématiciens ne peuvent que gagner à les approfondir. C'est tiuijours au contact de la ^atuieque l'Analyse mathématique s'est renouvelée; ce n'est f|ue grâce à ce contact pei- manenl (luelle a pu échapper au danger de devenir un pur symbo- lisme, tfuirnaiit en rond sur lui-nirme; c'est grâce à la l'h\sif|ue mo- léculaire (|ue les spéculations sur le discontinu prendront leur signi- (îcalion complète et se développeront dan> une voie vraiment féconde, lu, à défaut d'applications précises impossibles à prévoir, il e>l assez viaisemblable (jue les habitudes d'esprit créées par ces études ne seront pas inutiles à ceux qui voudront entreprendre la lâche qui s'imposera bientôt de créer une Analyse appropriée aux recherches théori(|ues sur la Phvsifjue du (liscontinu.

FIN.

f

\

V ^.

TABIi: lll'S MATII'KKS.

l'aies .

V Prkfack

Chapitre I.— Les diiplaceuienls euclidiens ;i deux et à trois dimensions. . i

Chapitre II. — La Géoniéliie euclidienne quaternaire •''

CiiAPiTHE III. — Sur une géométrie hyperbolique à deux dimensions 28

Chapitre IV.— Les déplacements liypcrboliques à trois et à quatre dimen- sions, et leur application à l'étude de la Cinématique du principe de relativité ^°

Chapitre V.— Fonctions d'un très ^rand nombre de variables; aires et

volumes en Géométrie à 10'' dimensions ^^

Note 1. Sur les principes de la théorie cinétique des gaz

ERRATA.

Page H-, ligne 6. au lieu de p. 11. /ire \i. -^.

Page 117. ligne 28, au lieu de île ^;randeur, lire de l'ordre de grandeur.

Page 110, ligne b, au lieu de A„, lire a„.

Page i.Sfi. I^a note (') dnil être complétée comme il suit :

Définition et domaine d'existence des fonctions monogènes unif.rmes {Comptes rendus du V' Congrès international des mathématiciens, Cambridge iç^i2;. Les fonctions mono^ènes non analytiques (Bulletin de la Société Matliématii/ue iqi2). Les ensembles de mesure nulle (ibid iyi3). Leçons sur les fonctions monogénes uniformes d'une variable complexe {Gdulhier-\\\liTS 191^, sous presse). Certaines démonstrations de la note sur les ensembles de mesure nulle demandent à être i;ornpléiées en quelques points.

i

K. BoKEL, introdurtion gémnétrique (p. 1^9).

i

TAHI.i: lli:S MATII'UI'S.

PnKFACK V

CiiAriTiiE I. — Les déplacemenis euclidiens à deux et a liois dimensions. . i

CiiAiMTUE II. — La Géoinélrie euclidienne (jualernaire l'i

CiiAiMTHK III. — Sur une géométrie liyperbujiijue à deux dimensions 28

CiiAriTHE I\ . — Les déplacements liypciboliques à trois et à quatre dimen- sions, cl leur application à l'étude de la Cinématique du principe de relativité 38

CiivriTRK V^ — Fonctions d'un très grand nombre de variables; aires et

volumes en Géométrie à 10'' dimensions .")-î

Note I. Sur les principes de la théorie cinétique des gaz 7.)

Note II. La mécanique statistique cl l'irréversibiliti" i/\

Note III. La relativité de l'espace d'après .M. Henri Poincaré 103

Note I\ . (_)uelques remarques sur la théorie des résonateurs io.5

Note V. Sur un problème de probabilités géométriques 109

Note VI. La cinématii|uc dans la théorie de la relativité 1 13

Note VII. Les théories moléculaires et les mathématiques 1 iG

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PARIS — IMPHIMEHIK GAUTHIEn-\ ILL MIS, iî339. Quai de* GraïKls-Auguslins, 55.

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Borel, Émil Félix ^Edouard Justinj

Intrùduction géométrique a ouelcues théorie physiques gg^

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